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三對角矩陣

在線性代數中，三對角矩陣是矩陣的一種，它“幾乎”是一個對角矩陣。準確來説：一個三對角矩陣的非零係數在如下的三條對角線上：主對角線、低對角線、高對角線。在許多物理問題中，三對角矩陣常常作為原始數據出現，因此它們本身是很重要的，這種矩陣僅有（2n-1）個獨立的元素。由三對角矩陣確定特徵值由一些較有效的方法，常見的有兩種：QR法、特徵多項式法。

中文名: 三對角矩陣
外文名: Tridiagonal Matrix^[1]
屬性: 矩陣

類型: 數學術語
特點: 非0元素排列在三條對角線上
應用領域: 數值分析，工程結構動力分析

三對角矩陣定義

形如

的n×n矩陣A稱為三對角矩陣，其中第(i,j)個元素在j>i+1和j<i-1時為零。^[2]

三對角矩陣三對角矩陣的建立

三對角矩陣分析矩陣特點

三對角矩陣M是一個對角矩陣，當且僅當

時，有M(i,j)=0。在一個nxn的三對角矩陣T中，非0元素排列在如下的三條對角線上：

（1）主對角線即i=j；

（2）主對角線之下的對角線（稱低對角線）即i=j+1；

（3）主對角線之上的對角線（稱高對角線）即i=j-1。

這三條對角線上的元素總數為3n-2，故可以使用一個擁有3n-2個位置的一維數組來描述T，因為僅需要存儲三條對角線上的元素。^[3]

三對角矩陣矩陣實例

考察如下所示的4×4三對角矩陣：

三對角矩陣上共有10個元素，如果把這些元素逐行映射到t中，則有t[0:9]=[2,1,3,1,3,5,2,7,9,0]；如果逐列映射到t上，則有t[0:9]=[2,3,1,1,5,3,2,9,7,0]；如果按照對角線的次序（從最下面的對角線開始）進行映射，則有t[0:9]=[3,5,9,2,1,2,0,1,3,7]。^[3]

三對角矩陣建立該三對角矩陣的程序

利用Store函數把傳入的x值存儲在相應的三對角矩陣中，並通過switch語句判斷其所在位置。具體程序如下：

#include "stdio.h"

#define n 10
int t[3*n];

void Store(intx,int i,int j)

{//把x存為T(i,j)
  
  if(i<1 || j<1 ||i>n ||j>n)
  
    {printf("數組出界！");
  
     exit(1);
  
    }
  
  switch(i-j){
  
    case 1:t[i-2]=x;break;//低對角線
  
    case 0:t[n+i-2]=x;break;//主對角線
  
    case -1:t[2*n+i-2]=x;break;//高對角線
  
    default:
  if(x！=0)
    
    {
    
      printf("非對角線上元素值必須為零")；
    
      exit(1);
    
    }
  
  }

}

void main()
{
  
int i,j;
  
int D[n][n];
     
   for(i=0;i<n;i++)
        
      for(j=0;j<n;j++)
           
      Store(D[i][j],i,j);

}