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牟合方蓋
鎖定
牟合方蓋源起
《九章算術》的“少廣”章的廿三及廿四兩問中有所謂“開立圓術”,“立圓”的意是“球體”,古稱“丸”,而“開立圓術”即求已知體積的球體的直徑的方法。其中廿四問為:“又有積一萬六千四百四十八億六千六百四十三萬七千五百尺。問為立圓徑幾何?”
開立圓術曰:“置積尺數,以十六乘之,九而一,所得開立方除之,即丸徑。”
從中可知,在《九章算術》內由球體體積求球體直徑,是把球體體積先乘16再除以9,然後再把得數開立方根求出約得14300尺,約為4.76千米,換言之
牟合方蓋相關研究
“以周三徑一為圓率,則圓冪傷少;令圓囷為方率,則丸積傷多。互相通補,是以九與十六之率,偶與實相近,而丸猶傷多耳。”
示意圖(5張)
牟合方蓋牟合方蓋描述
“取立方棋八枚,皆令立方一寸,積之為立方二寸。規之為圓囷,徑二寸,高二寸。又復橫規之,則其形有似牟合方蓋矣。八棋皆似陽馬,圓然也。按合蓋者,方率也。丸其中,即圓率也。”
牟合方蓋劉徽理論
其實劉徽是希望構作一個立體圖形,它的每一個橫切面皆是正方形,而且會外接於球體在同一高度的橫切面的圓形,而這個圖形就是“牟合方蓋”,因為劉徽只知道一個圓及它的外接正方形的面積比為
,他希望可以用“牟合方蓋”來證實《九章算術》的公式有錯誤。當然他也希望由這方面入手求球體體積的正確公式,因為他知道“牟合方蓋”的體積跟內接球體體積的比為
,只要有方法找出“牟合方蓋”的體積便可,可惜,劉徽始終不能解決,他只可以指出解決方法是計算出“外棋”的體積,但由於“外棋”的形狀複雜,所以沒有成功,無奈地只好留待有能之士圖謀解決的方法:
“觀立方之內,合蓋之外,雖衰殺有漸,而多少不掩。判合總結,方圓相纏,濃纖詭互,不可等正。欲陋形措意,懼失正理。敢不闕疑,以俟能言者。”
牟合方蓋重要發現
是到三個“外棋”的計算方法。他們先考慮一個由八個邊長為
的正立方體組成的大正立方體,然後用製作“牟合方蓋”的方法把這大正立方體分割,再取其中一個小正立方體部分作分析,分割的結果將跟概述圖所示的相同,白色部分稱為“小牟合方蓋”,它的體積為“牟合方蓋”的八分之一,而紫紅、黃和青色的部分便是三個“外棋”。
另外,因為
所以
於所有的
來説,這個結果也是不變的。祖氏父子便由此出發,他們取一個底方每邊之長和高都等於
的方錐,倒過來立着,與三個“外棋”的體積的和進行比較。設由方錐頂點至方錐截面的高度為
,不難發現對於任何的
,方錐截面面積也必為
。換句話説,雖然方錐跟三個“外棋”的形狀不同,但因它們的體積都可以用截面面積和高度來計算,而在等高處的截面面積總是相等的,所以它們的體積也就不能不是相等的了,所以祖氏雲:
“緣冪勢既同,則積不容異。”
所以
即
因此
這條公式也就是正式的球體體積公式。