卡瓦列利

在世界數學史上，卡瓦列利主要以他的不可分量方法而聞名於世。這個方法認為，線是由無窮多個點構成的，面是由無窮多條線構成的，體則是由無窮多個面構成的。點、線、面分別就是線、面、體的不可分量。卡瓦列利通過對比較兩個平面或立體圖形的不可分量之間的關係來獲得這兩個平面或立體圖形的面積或體積之間的關係，這就是著名的卡瓦列利定理：夾在兩條平行直線之間的兩個平面圖形，被平行於這兩條直線的任意直線所截，如果所得的兩條截線長度相等，那麼這兩個平面圖形的面積相等；夾在兩個平行平面之間的兩個立體圖形，被平行於這兩個平面的任意平面所截，如果所得的兩個截面的面積相等，那麼這兩個立體圖形的體積相等。這個定理在中國被稱為“祖𣈶原理”，它的後半部分與南北朝著名數學家祖𣈶在計算球體積時所提出的“緣冪勢既同，則積不容異”的論斷是一致的。卡瓦列利運用上述原理求得了許多平面圖形的面積和立體圖形的體積，是現行中學立體幾何教材求幾何體積的基本雛形。卡瓦列利還利用不可分量方法證明了相當於我們今天見到的冪函數定積分的公式，以及吉爾丁定理：一個平面圖形繞某一軸旋轉所得立體圖形體積等於該平面圖形的重心所形成的圓的周長與平面圖形面積的乘積。

卡瓦列利的不可分量法在當時雖然缺乏科學論證，但利用它卻能迅速而正確地獲得前人未能獲得的結果。正如數學史家史密斯所説：“僅從數學角度來看，17世紀對科學影響最大的意大利數學家就是卡瓦列利。”可惜的是他英年早逝，49歲就與世長辭。

卡瓦列利(Bonaventura Cavalieri)1598年出生於米蘭，十五歲成為耶穌會修士，就學於伽利略，從1629年起直到1647年四十九歲逝世，是波洛尼亞大學的數學教授．他是他那個時代最有影響的數學家之一，並且寫了許多關於數學、光學和天文學的著作．最先把對數引進意大利的多半是他．但是他最偉大的貢獻是1635年發表的一篇闡述不可分元法(method of indivisibles)的論文：《不可分元幾何》，雖然這方法可以追溯到德謨克利特(大約公元前410年)和阿基米得(大約公元前287—212年)；也許開普勒在求某些面積和體積上的努力對卡瓦列利有直接的啓發．

卡瓦列利的論文寫得囉嗦、不清楚，難於明確地知道所謂“不可分元”(indivisible)是什麼．一個給定的平面片的一個“不可分元”似乎是指該片的一個弦；一個給定的立體的一個“不可分元”指的是該立體的一個平面截面．一個平面片被當作由平行弦的一個無限集合組成，一個立體被當作由平行的平面截面的一個無限集合組成．卡瓦列利然後説：如果我們使一些給定的平面片的平行弦的集合中的每一個元素沿着它自己的軸滑動，使得這些弦的端點仍然描出一個連續的邊界，則這樣形成的新的平面片的面積和原平面片的面積一樣．一個給定立體的平面截面作類似的滑動，生成為與原立體的同樣體積的另一個立體．(此最後結果可依下述方法給出引人注目的例證説明，即：取豎放的一堆厚紙板，然後，令這堆的邊成為曲面，則此重擺的堆的體積與原來的堆的體積一樣．)這些結論，略加推廣，就給出所謂卡瓦列利原理：

1．如果兩個平面片處於兩條平行線之間，並且平行於這兩條平行線的任何直線與這兩個平面片相交，所截二線段長度相等，則這兩個平面片的面積相等．

2．如果兩個立體處於兩個平行平面之間，並且平行於這兩個平面的任何平面與這兩個立體相交，所得二截面面積相等，則這兩個立體的體積相等．

卡瓦列利原理是計算面積和體積的有價值的工具；並且，其直觀基礎可用現代的積分學容易地給出．把這些原理當作直觀顯然的接受下來，我們就能解決許多通常需要高深得多的積分技術的量度問題．

讓我們例證地説明卡瓦列利原理的用法：首先應用於求半軸長為a和b的橢圓的面積，這是平面情況；然後應用於半徑為r的球的體積，這是立體情況．

考慮被置於同一個直角座標系上的橢圓和圓

由此得出：橢圓和圓的對應的縱座標之比為b/a．繼而又得出：橢圓和圓的對應垂直弦之比也是b/a；並且，根據卡瓦列利第一原理，橢圓和圓的面積之比也是b/a．我們的結論是：

這基本上是刻卜勒求半軸長為a和b的橢圓面積之程序．

現在讓我們來求半徑為r的球的體積的熟悉公式．在圖100中，在左邊我們有一個半徑為r的半球；在右邊是半徑為r，高為r的一個圓柱和以圓柱的上底為底，以圓柱的下底的中心為頂點的圓錐．把半球和挖出圓錐的圓柱放在共同平面上，然後，用平行於底面、與底面距離為h的平面截兩立體．此平面截一個立體呈圓形截面，並截另一個立體呈現環形截面．用初等幾何不難證明：這兩個截面的面積都等於π(r2-h2)．根據卡瓦列利原理可知：兩個立體有相等的體積．所以，球體的體積為：

假定卡瓦列利原理成立並始終如一地使用它，可以簡化在中學立體幾何課程中遇到的許多公式的推導．此程序已被許多教材作者採用，並且在教學法的立場上受到了人們的擁護．例如，在推導四面形的體積的熟悉公式(V=Bh/3)的過程中，討厭的是：首先要證明：有等底且在這些底上有等高的兩個四面形有相等的體積．在這裏，反映出從歐幾里得《原本》開始，立體幾何所有論述中的固有困難．然而，用上卡瓦列利的第二原理，這困難就消逝了．

卡瓦列利的不可分元的模糊概念，有點像圖形的微小部分，引起了相當多的計論，並且受到此課題的一些研究者[尤其是瑞士的金匠和數學家古爾丹(Paul Guldin，1577—1642)]的嚴厲批評．卡瓦列利試圖徹底改造他的論述來應付這些異議，未獲成功．法國數學家羅伯瓦熟練地掌握了此方法，並且宣稱是此概念的一個獨立發明者，托里拆利、費爾馬、帕斯卡、聖文森特，巴羅及其他人有效地使用了不可分元方法或某種和它很相似的方法．在這些人工作的過程中，得到了與xn，sinθ，sin2θ和θsinθ等表達式的積分等價的結果． ^[1]