開立圓術

最早的文字記載見於《九章算術》少廣章：“開立圓術曰：置積尺數，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑。”這一方法相當於給出球體積計算公式

（其中d為球的直徑）。《九章算術》未給出該公式的由來。

在劉徽注《九章算術》時，給出了兩種解釋：

1.由“黃金方寸重十六兩，金丸徑寸重九兩”實測而來。

2.先由截面原理推得正方體與其內切圓柱體的體積之比為4/3，再假定圓柱體與其內切球體的體積之比也是4/3，進而由連比例得到。

劉徽對其第2種解釋做了進一步的考察，指出若取π=3，則正方體與其內切圓柱體的體積之比為4/3，但圓柱體與其內切球體的體積之比不是4/3，而是“牟合方蓋”—兩個正交的等徑圓柱體的公共部分—與其內切球體的體積之比為4/3。從而指出這一公式是錯誤的，並闡明瞭得到球體積計算公式的正確途徑是求出牟合方蓋的體積。祖𣈶考察正方體與其內容牟合方蓋之間的關係，並應用以他的名字命名的截面原理，得到牟合方蓋與其外接正方體的體積之比為2/3。從而得到正確的球體的體積計算公式為

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