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柯西極限存在準則
鎖定
- 中文名
- 柯西極限存在準則
- 外文名
- Cauchy's convergence test
- 別 名
- 柯西收斂準則
- 提出者
- 奧古斯丁·路易斯·柯西
- 適用領域
- 高等數學-微積分-極限理論
- 意 義
- 給出了收斂的充分必要條件
柯西極限存在準則應用方面
柯西極限存在準則，又稱柯西收斂準則，給出了某個式子收斂的充要條件，主要應用在以下方面：
（1）數列
（2）數項級數
（3）函數
（4）反常積分
（5）函數列和函數項級數
每個方面都對應一個柯西準則，因此下文將按照不同的方面對該準則進行説明。
柯西極限存在準則數列
柯西極限存在準則定理內容
該準則的幾何意義表示，數列
收斂的充分必要條件是：該數列中的元素隨着序數的增加而愈發靠近，即足夠靠後的任意兩項都無限接近。
柯西極限存在準則證明
必要性
設
，則
，
，當
時，有
那麼，
充分性
於是取
，則當
時，有
。
故
，即當
時，
既有上界又有下界，所以是有界的。
②
。
③根據集合
和
的定義，
中任意元素都小於
中的任意元素。
∵
是
和
的分界點
∴
，
④由
的定義可知，
，
。
根據已知條件，當
時，
於是
。聯立④中的不等式，可得到
。
也就是當
時，不等式
成立
∴
柯西極限存在準則應用
設
是一個非空有上界的數集，且
是其一個上界。則由
的非空性及實數的有序性可知，必定存在一個實數
，使得
小於
中的某個元素，即
不是
的上界。
重複此步驟，即若某個閉區間中點
是
的上界，則令
，否則令
。這樣一來得到了一系列閉區間，滿足
①
②
並且由閉區間的構造方式可知，對任意自然數
，
都不是
的上界，而
都是
的上界。
下證
、
收斂。
由極限的定義，根據②可知，
，
，使得當
時，
。
並且對任意正整數
和
，根據①可知，
。
於是當
時，
。
令
，即可得到
是一個柯西序列，由柯西收斂準則知
收斂。
設
，由②得
。
下證
是
的上確界。
∵
是
的上界
∴對
中的任一元素
，都有
由極限的保序性逆定理可知
，即
是
的上界。
又取任意
，由
及極限保序性可知，存在正整數
，當
時，就有
。
∵
不是
的上界
∴
不是
的上界
即比
小的數不再是
的上界。根據上確界的定義，
是
的上確界，即非空有上界的數集必有上確界。
設
是一個非空有下界的數集，
是
的所有下界組成的數集。
根據下界的定義，
，都有
。換句話説，
中的所有元素都是
的上界，
是一個非空有上界數集。由於已證得非空有上界數集必有上確界，所以
有上確界，記該上確界為
。
下證
也是
的下確界。
顯然
，這是因為若
，則根據上確界的定義可知，
一定是
中的最小值，即對
中的所有元素
，都有
。根據下界的定義，
也是
的一個下界，這樣一來
，與假設矛盾。
又取任意
，所以
，即比
大的數不再是
的下界。根據下確界的定義，
是
的下確界，即非空有下界數集必有下確界。
柯西極限存在準則數項級數
柯西極限存在準則定理內容
數項級數
收斂的充要條件是：對任意給定的正數
，總存在正整數
，使得當
時，有
柯西極限存在準則證明
設數項級數
的部分和為
，根據級數收斂的定義，
收斂當且僅當
收斂。
顯然，對於確定的
來説，
有唯一確定的數值，這樣一來
就是一個數列。故考慮用數列的柯西收斂準則來證明。
∵
∴由數列的柯西收斂準則可知，數項級數的柯西收斂準則也成立。
柯西極限存在準則函數
考慮到數列是定義域為正整數集的特殊函數，可以猜想，函數的斂散性也應有類似的結論，這就是接下來要説的函數的柯西收斂準則。
柯西極限存在準則定理內容
（1）
時的準則
（2）
時的準則
以上兩條準則針對單側極限依然有效。
柯西極限存在準則證明
必要性
（1）
時的準則
設
，則
，
，當
時，有
那麼，
（2）
時的準則
設
，則
，
，當
時，有
那麼，
充分性
歸結原則（或稱海涅定理）：設
在
的某個去心鄰域（或
大於某個正數時）有定義，那麼
（或
）的充要條件是，對在
的某個去心鄰域內的任意收斂於
並且滿足
的數列
（或絕對值大於某個正數的任意發散到無窮大的數列
），都有數列
收斂到
，即
（1）
時的準則
設
是
的某個去心鄰域內的任意收斂到
並且
的數列，由數列極限的定義，
，
（注意這裏的
就是柯西條件的
），當
時，有
而由
可知，
換句話説，當
時，有
這也就是數列的柯西收斂準則，由柯西收斂準則可知數列
收斂。又因為
的任意性，得到任意
的極限都相等。於是根據歸結原則，
收斂。
（2）
時的準則
設
是絕對值大於某個正數的任意發散到無窮大的數列，由數列發散到無窮大的定義，
，
（注意這裏的
就是柯西條件的
），當
時，有
而由
可知，
換句話説，當
時，有
這也就是數列的柯西收斂準則，由柯西收斂準則可知數列
收斂。又因為
的任意性，得到任意
的極限都相等。於是根據歸結原則，
收斂。
柯西極限存在準則反常積分
反常積分分為兩種，一種是積分區間無窮大的反常積分（又稱無窮限的反常積分），另一種是被積函數為無界函數的反常積分（又稱無界函數的反常積分、瑕積分）。因此相應的柯西收斂準則有兩種，兩種準則的描述有些區別，但都可以從函數的柯西收斂準則得出。
柯西極限存在準則定理內容
（1）無窮限的反常積分
無窮限的反常積分
收斂的充要條件是，對任意給定的正數
，總存在正數
，使得當
時，有
前提是
。
無窮限的反常積分
收斂的充要條件是，對任意給定的正數
，總存在正數
，使得當
時，有
前提是
。
（2）瑕積分
瑕積分
（其中
是
的瑕點）收斂的充要條件是，對任意給定的正數
，總存在正數
，使得當
時，有
前提是
。
瑕積分
（其中
是
的瑕點）收斂的充要條件是，對任意給定的正數
，總存在正數
，使得當
時，有
前提是
。
柯西極限存在準則證明
（1）無窮限的反常積分
考慮
的情況。
設
。由無窮限反常積分收斂的定義可知，
收斂，當且僅當
收斂。
於是根據函數的柯西收斂準則，
收斂的充要條件是，
，
，使得當
時，有
由定積分的性質可知，
。
綜合上述過程，就得到
收斂的充要條件是：
，
，使得當
時，有
由此證得無窮限反常積分的柯西收斂準則。
（2）瑕積分
考慮
是瑕點的情況。
設
。由瑕積分收斂的定義可知，
收斂，當且僅當
收斂。
於是根據函數的柯西收斂準則，
收斂的充要條件是，
，
，使得當
時，有
由定積分的性質可知，
。
綜合上述過程，就得到
（
是瑕點）收斂的充要條件是，
，
，使得當
時，有
但是，
等價於
。令
，即得到
，由此證得瑕積分的柯西收斂準則。
柯西極限存在準則函數列和函數項級數
柯西極限存在準則定義
函數列，指的是定義域相同的一列函數
，
，
，……所構成的集合
，可以簡寫成
。
而函數項級數，則是由這無窮多個函數相加所構成的級數
關於函數列和函數項級數的收斂性，有以下幾種定義：
（1）函數列（或函數項級數）在某一點收斂
設
為定義域上的某一點，那麼
是某個具體的常數，因此函數列
（或函數項級數
）就轉化為一個數列（或數項級數）。若當
時，這個數列（或數項級數）的極限存在，則稱函數列
（或函數項級數
）在
處收斂，而把
稱作函數列
（或函數項級數
）的收斂點，並把所有收斂點構成的集合稱為收斂域。顯然，收斂域是定義域的一個子集。
（2）極限函數與和函數
對於收斂域內任意一個數
，函數列（或函數項級數）成為一收斂的數列（或數項級數），因而有確定的函數值
（或和
）。通過這種對應關係，在收斂域上就定義了一個函數列的極限函數（或函數項級數的和函數），寫作
（或
），並有：
注：顯然函數項級數前項的部分和
所構成的集合
同樣是一個函數列，並且
。
利用
語言，可以精確地定義極限函數：
（3）函數列（或函數項級數）一致收斂
根據（2）中極限函數的定義，我們可以知道函數列
具有極限函數的充要條件是：對任意給定的正數
，總存在正整數
，使得當
時，有
。通常這個
不僅與
有關，也與自變量
有關，即使
不變，當
發生改變時，
也會隨之改變。但是，如果某個函數列能找到這樣一個正整數
，它只與
有關，而與自變量
無關，即對任意
（
是函數列的定義域或其子集），只要
時，就有
。函數列的這種性質，就是下面要介紹的一致收斂。
設
是函數列
的定義域（或其某個子集），
是
上有定義的函數。如果對任意給定的正數
，總存在正整數
，使得當
時，對任意
，都有
，則稱函數列
在
上一致收斂於
。
又設
是函數項級數
的部分和函數列，若
在
上一致收斂於
，則稱函數項級數
在
上一致收斂於
。
顯然，函數列（或函數項級數）即使在某數集上處處都收斂（又叫逐點收斂），也不一定在該數集上一致收斂。但在某數集上一致收斂時，一定在該數集上逐點收斂。逐點收斂和一致收斂的關係可以參考函數連續和一致連續的關係。
柯西極限存在準則定理內容
（1）函數列的柯西收斂準則
函數列
在
上一致收斂的充要條件是：對任意給定的正數
，總存在正整數
，使得當
時，對任意
，有
（2）函數項級數的柯西收斂準則
函數項級數
在
上一致收斂的充要條件是：對任意給定的正數
，總存在正整數
，使得當
時，對任意
，有
柯西極限存在準則證明
（1）函數列的柯西收斂準則
必要性
設
，則
，
，當
時，
，有
那麼，
充分性
由於對確定的
，
為某一確定的數列，因此根據數列的柯西收斂準則，當
取遍
上的每一點時，函數列
總收斂，設其極限函數為
。
現只需要證明，
一致收斂於
。
事實上，由於已證得
，根據極限的定義，
，
，使得當
時，有
於是，當
時，
這裏的
和
都是柯西條件中的，即
只和
有關，而對任意
都適用。
因此根據一致收斂的定義，
一致收斂於
。
（2）函數項級數的柯西收斂準則
根據函數項級數一致收斂的定義，我們只需要證明部分和函數列
在
上一致收斂於
。顯然，
一致收斂於
的充要條件即是：
，
，使得當
時，
，有
那麼，函數項級數
一致收斂的充要條件亦即是：
，
，使得當
時，
，有
