下確界

設給定一數集E，若存在m

R，使得對於

x

E，都有x

m，則稱m是集合E的一個下界。 ^[1] 

例：若E=

，不難驗證只要m

，m就是集合E的一個下界。

一個數集可以由有限個數組成，也可以由無窮多個數組成，前者稱為有限（數）集，後者稱為無限（數）集。任何有限數集都有一個最小數，但對於無限數集來説就不一定有最小數了。例如，由一切x

1所組成的數集沒有最小數；又如數集

(

)有最小數1/2. ^[2] 

我們知道，有界數集有無窮多個下界。因而，對於有有界數集來説，如果它有最小數，那麼這個最小數也是它的下界中的一個，並且比這個最小數大的任何數都不是它的下界，這時，這個最小數自然就是它的最大的下界。 ^[2] 

但在上面的例子中已經看到，對一般無限數集來講不一定有最小數。然而，對於某些無限數集來説，最大的下界確實存在，這裏暫時撇開最大下界的存在性，而對一般數集的最大下界給予確切的定義。 ^[2] 

設給定一數集E。若存在這樣一個數

，適合以下兩個條件：

（i）集E中的一切數

(即

是E的一個下界)；

（ii）對任意給定的正數

，至少存在一個數

，使得

（即比

再大一點就不是下界）， 則

叫做E的下確界，記為

或

. 這裏inf是infimum的縮寫。

第一個條件説明

是E的下界之一，而第二個條件説明凡大於

的任何數都不是E的下界。也就是説

是E的最大下界。

注1 為方便起見，若E無下界，則記

.

注2 上面的條件（ii）等價於：如果

是E的一個下界，則必有

. ^[1] 

定理 設數集有上（下）確界，則這上（下）確界是唯一的。 ^[2] 

證明：採用反證法。假設數集E有兩個不同下確界

和

（

），顯然，

和

均為E的下界，由上面注2可知

且

，故

. 與假設相矛盾！證畢。

定理 有上界的非空數集必有上確界，有下界的非空數集必有下確界。 ^[2] 

證明：用戴德金分割定理證明。

戴德金定理：對實數集R的任意一個滿足不空、不漏、不亂的劃分A和B，都存在唯一的一個分點

滿足

記給定非空集為X。取定B為X的所有上界的集合，A=R\B. 下證A、B為不空、不漏、不亂的劃分。

不空：由於X非空，可取

，易知x-1不可能為X的上界，故A非空。B非空給定；

不漏：由A=R\B知

；

不亂：設

，則由

知

不是X的上界，即

，但又由

是X的上界知

. 綜上，

又

，矛盾。不亂得證。

故存在唯一的一個分點

滿足

下證分點為上確界，即

.

若不然，

不成立，則

，但此時就有

，由

知

，與

是劃分A和B的分點相矛盾。故

.

下確界同理。證畢。

定理 單調有界數列必有極限。 ^[2] 

證明：我們只就單調減少的有界數列予以證明。設

有界，則必有下確界

. 再設

是單調減少的，證明

恰好就是

的極限，即

.

由下確界的定義有（i）

；（ii）對任意給定的

，在

中至少有一數

，有

. 但由於

是單調減少數列，因此當

時，有

，從而

. 也就是説，當

時，有

所以

這裏不僅證明了單調有界數列的極限存在，而且也證明了如果它是單調減少的，則極限就是它的下確界。同樣可證單調增加有界數列的極限存在，並且極限就是它的上確界。