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拓撲K理論

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拓撲K理論是廣義上同調羣中的一個重要理論。緊豪斯多夫空間的上同調論推廣到非交換形式即為拓撲K理論。
中文名
拓撲K理論
外文名
topological K-theory
所屬學科
代數拓撲

目錄

  1. 1 定義
  2. 2 虛叢
  3. 3 不同版本的K理論
  1. ▪ 約化K理論
  2. ▪ 相對K理論
  3. ▪ 高階K理論
  4. ▪ 緊支K理論
  5. 4 性質
  1. 5 相關定理
  2. 6 具體K羣
  3. 7 簡介
  4. 8 歷史背景

拓撲K理論定義

設X為緊豪斯多夫空間，記
為所有底空間為X的域
上向量叢的同構類集合。利用向量叢的惠特尼和可在
上定義加法，利用向量叢的張量積可在其上定義乘法，使
有一個交換半環結構。
X的K理論，記為
，是交換半環
的格羅滕迪克環。 [1] 

拓撲K理論虛叢

中的元稱為虛叢。虛叢能表示為[V]-[n]，其中[V],[n]∈
，[n]為n維平凡叢的同構類。 [2] 

拓撲K理論不同版本的K理論

拓撲K理論約化K理論

帶基點的空間X的約化K理論
為環同態
的核。
為
的理想，故為無幺環。
。
設X,Y均為帶基點的空間，X×Y到X與Y的投射與商映射X×Y→X∧Y誘導自然同構
且
為X與Y到X×Y的包含映射誘導的映射
的核。 [1] 

拓撲K理論相對K理論

若Y為X的非空閉集，(X,Y)的相對K理論定義為
，其中X/Y以Y為基點。
若Y為空集，定義
，
為基點。
若X無基點，(X,∅)的相對K理論為
。
若X與Y為帶基點的空間對，則有正合列
由此可生成長正合列
為分次函子
。
若Y為X的收縮，則對所有i有可裂短正合列 [2] 

拓撲K理論高階K理論

若X為帶基點的緊空間，定義X的約化高階K理論為
。
定義(X,Y)的相對高階K理論為
。
定義X的高階K理論為
。
為分次環，
為
上的分次模。 [2] 

拓撲K理論緊支K理論

若X推廣為局部緊豪斯多夫空間，則定義X的緊支K理論為
定義X的高階緊支K理論為 [2] 

拓撲K理論性質

K為從緊豪斯多夫空間範疇到阿貝爾羣範疇的反變函子。函子K , KO為非退化廣義上同調論。
設
為底空間為X的所有復n平面叢等價類集合，
為底空間為X的所有復叢穩定等價類集合，存在自然同構
設X+表示X與一點的不交併，存在自然同構
若X為帶非退化基點的空間，存在自然同構
[1] 
陳特徵標為環同態

拓撲K理論相關定理

上的復典範線叢
的對偶為H=Hom(
,ε)，K(S2)為以[H]為生成元並有關係([H]-1)2=0的環。K(S2)為以{1,[H]}為基的自由阿貝爾羣。
博特週期性定理： [1] 
為單元多項式代數，生成元ξ∈
，即有同構
，其中ξ=[H]-[1]。 [2] 
故有同構
若X為帶非退化基點的空間，有同構

拓撲K理論具體K羣

對於復的情況，K函子滿足K=K0⊕K1。K1(X)=π0(GL∞(C(X)))，K0(X)=π1(GL∞(C(X)))。 [3] 

拓撲K理論簡介

K理論是第一個被發現的廣義上同調論。 [1] 

拓撲K理論歷史背景

亞當斯(Adams,J. F.)利用K理論，解決了球面上的向量場問題。邁克爾·阿蒂亞和亞當斯利用K理論給出了霍普夫不變量1的元素不存在問題的一個短而簡單的證明。拓撲K理論是由格羅滕迪克、阿蒂亞、希策布魯赫於20世紀60年代初引人的。
參考資料
  • 1.    J. P. May．代數拓撲簡明教程 第1卷：Springer，1999
  • 2.    H. Blaine Lawson, JR. Marie-Louise Michelsohn．自旋幾何：普林斯頓出版社，1989
  • 3.    Alain Connes．非交換幾何：Elsevier，1994