霍普夫不變量

1931年海因茨·霍普夫利用克利福德平行（Clifford parallel）構造了霍普夫映射

，並通過利用圓周

對任意

的環繞數（=1），證明了

是本質的，即不同倫於常值映射。隨後證明了同倫羣

是由

生成的無限循環羣。1951年，讓-皮埃爾·塞爾證明了對一個奇數維球面（n 奇）有理同倫羣

是零除非 i = 0 或 n。但對一個偶數維球面（ n 偶），在

次處多出一個無限循環同倫。

設

是一個連續映射（假設

）。則我們可以構造胞腔復形

這裏

是2n-維圓盤通過

貼上一個

。 胞腔鏈羣

在度數n只是由n-胞腔自由生成，故它們在度數 0、n 與 2n是

，其餘都是零。胞腔（上）同調是該鏈復形的（上）同調，因為所有邊緣同態必然是零（注意到 n>1），上同調是

記這些上同調羣的生成元為

與

因為維數原因，這些類之間的所有杯積除了

一定都是平凡的。從而作為一個環，上同調是

整數

是映射

的霍普夫不變量。

定理：

是一個同態。進一步，如果n是偶數，則h映到

。 ^[2] 

對霍普夫映射霍普夫不變量是1（這裏 n=1,2,4,8，分別對應於實可除代數

，而二重複疊

將球面上的一個方向送到它生成的子空間）。只有這些映射的霍普夫不變量是 1，這是最先由弗蘭克·亞當斯（Frank Adams）證明的一個定理，後來邁克爾·阿蒂亞利用 K-理論重新給出了證明。 ^[3] 

如果

是映射度為

的映射，那麼

^[4]  .

如果

是映射度為

的映射，那麼

^[4]  .

可以定義一種非常一般的霍普夫不變量概念，但需要一些同倫論知識預備：

設

表示一個向量空間而

是其單點緊化，即對某個

有

而

。如果

是任意帶基點的空間（在上一節中不明確），如果我們去無窮遠點為

的基點，則我們可以構造楔積

。

現在令

是一個穩定映射，即在約化垂緯函子下穩定。F 的（穩定）幾何霍普夫不變量是

是從

到

映射的穩定

-等變同倫羣中一個元素。這裏穩定意為“在垂緯下穩定”，即通常等變同倫羣在

上（或

）的正向極限；而

-的作用是

的平凡作用與交換

中兩個因子。如果我們令

表示典範對焦映射而

是是恆等，則霍普夫不變量由下式定義：

這個映射原本是從

到

的映射。但在正向極限之下它成為映射的穩定同倫

-等變羣的典型元素。也有一個非穩定版本的霍普夫不變量

，為此我們必須考慮向量空間 V。