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霍普夫映射
鎖定
- 中文名
- 霍普夫映射
- 外文名
- Hopf fibration
- 領 域
- 數學
- 適用領域
- 拓撲學
霍普夫映射簡介
在拓撲學中,霍普夫纖維化(Hopf fibration,亦稱霍普夫纖維叢)是最早提出的纖維化,其中的纖維是圓圈(1-球面,S1),基空間是三維空間中的球面(2-球面,S2),而全空間是四維空間中的超球面(3-球面,S3)。容易驗證,它是非平凡的。即全空間S3與積空間S1×S2不是拓撲同構的。
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霍普夫映射解釋
上面的條件還不足以使它成為一個纖維化,後者需要更強的條件,
這個條件意味着,全空間S3與積空間S1×S2在局部的拓撲性質上是不可區分的。如果全空間與積空間在整體的拓撲性質上也不可區分(即兩者同胚),則這個纖維化就是平凡的纖維化,例子如切叢。全空間與積空間的局部等價性又稱為局部平凡條件。霍普夫纖維化的重要性在於它是第一個非平凡纖維叢的例子,並且為纖維叢等數學概念的定義提供了模型基礎。
[2]
霍普夫映射記號
上面描述的霍普夫纖維化可以記作:
霍普夫映射主叢
S3中的元素在四元數乘法下形成一個羣G。給定一個纖維化之後,S3中對應於包含單位元的那個S1纖維的元素自然地構成了G的一個子羣H。考慮這個子羣H中的元素對G中元素的右乘,它自然地構成了S3的一個自同構,這個自同構保持了纖維不變,即把纖維映射為纖維。
霍普夫纖維化給出了S3上的纖維用S2中的元素來進行參數化的一種方式。霍普夫纖維叢是一個主H-叢,意味着用H中的元素對S3進行變換後,我們仍然可以採用相同的參數化(即相同的映射π),唯一不同的,是每條纖維到S1的同胚映射變為了另一個同胚映射。
[3]
霍普夫映射拓展
上面提到的霍普夫纖維化是最早的霍普夫纖維化,有時也用這個詞來指代更廣泛的一類纖維叢。注意到前述纖維叢中涉及的三個超球面分別與複數域上的一些結構同胚(參見復射影直線):
霍普夫映射參見
- 參考資料
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- 1. Treisman, Zachary. A young person's guide to the Hopf fibration. arXiv:0908.1205.
- 2. Adams, J.F.; Atiyah, M.F., K-Theory and the Hopf Invariant, The Quarterly Journal of Mathematics, 1966, 17 (1): 31–38, doi:10.1093/qmath/17.1.31
- 3. Husemoller, Dale. Fibre Bundles Third. New York: Springer. 1994. ISBN 978-0-387-94087-8.