單點緊化

定義1 一個拓撲空間是局部緊緻的，如果對於任一

，存在一個包含於X的一個緊緻子集之中的鄰域。

例1任一緊緻空間當然是局部緊緻的，由於每一個

都有既作為它的一個鄰域又作為包含此鄰域的一個緊緻集的X。

例2實軸R是局部緊緻的，由於對於任一

，我們有

而

是緊緻的。

例3R的在標準拓撲中的子空間Q不是局部緊緻的。

定義2 設x是一個豪斯多夫空間，Y等於X與附加的單點(記為

)的並，(見圖1)對

上的一個拓撲，把以下兩種類型的子集定義為開集：

(1)在X中是開集；

(2)形如

的集合，其中C是X的一個緊緻子集。

我們稱所得到的拓撲空間Y為X的單點緊化。

當然，我們需要證實，此開集族所描述的恰好是一個拓撲，下面進行證實。

設X是一個豪斯多夫空間，在X單點緊化的定義中

的子集族，是Y上的一個拓撲 ^[2]  。

證明： 空集是Y中的開集，由於它是X中的一個開子集。整個集合Y本身，在Y中也是開集，由於它在Y中是空集

的補集，而

是X的一個緊緻子集。

為了證明Y中開集的有限交在Y中是開集，只要檢驗一對開集U與V的交就可以了，然後再用數學歸納法，就可以得到任意有限交的結果了。為此，設U與V是Y中的開集。我們需要檢驗3種不同的情況，首先，如果U與V都是X中的開集，那麼

是X中的一個開集，從而使它成為Y中的一個開集。其次，假定

與

，其中

是X的緊緻子集。於是

。由於緊緻集的有限並仍是緊緻的，因此

是X的一個緊緻子集。於是得出，對於X的一個緊緻子集C，

因而在這種情況下，

在Y中同樣是開集。最後，假定U是X中的開集，而

，其中C是X的一個緊緻子集。那麼，由於

不在U中，於是得出

。而C在X中是閉的，由於它在豪斯多夫空間X中是一個緊緻集，因此，

在X中是開的，藴涵

在X中為開。於是

在X中為開，從而在此時使得它在Y中也為開。於是得出，如果U與V是Y中的任意開集，那麼

在Y中也是開的，這正是我們所要證明的。

最後，我們證明開集的任意並是開集，我們可以把這一任意並表示為以下的形式：

其中每個

在X中是開的，而每個

是X的一個緊緻子集。集合

在X中是開的，我們用U來表示它，此外，

又由於任一集合

是豪斯多夫空間X的緊緻子集，

是X的一個緊緻子集。設

，我們發現

且C是X的一個緊緻子集。因此，我們僅需要驗證

在Y中是開的，其中U在X中是開的，而C是X的一個緊緻子集。設

為U在X中的補，那麼C’在X中是閉的，因而

C是豪斯多夫空間X的一個緊緻子集，所以C在X中是閉的。因此，

在X中是閉的，而由於

是緊緻集C的一個子集，於是得到

是X的一個緊緻子集，因此，

是Y中的一個開集，藴涵

是Y中的一個開集。於是得出，Y中開集的任意並是Y中的一個開集。所以，在X單點緊化的定義中所描述的Y的子集族是Y上的一個拓撲。

X是單點緊化

的一個子集，因此，X從Y傳承一個子空間拓撲，以下的定理指出這個子空間拓撲與原拓撲是相同的，因而我們可以把X看作是它的單點緊化的一個子空間。

設X是一個豪斯多夫空間，並設

是它的單點緊化，那麼傳承自Y的X的子空間拓撲，等於X上的原拓撲。

接下來，我們説明使用術語“緊緻化”的理由。

設X是一個豪斯多夫空間，它的單點緊化,

是緊緻的。

設X是一個局部緊緻的豪斯多夫空間，那麼，X的單點緊化

是豪斯多夫的。

證明：為了看出Y是豪斯多夫的，設x與y是Y中的點。在第一種情況下，假定x與y都在X中，由於X是豪斯多夫空間，我們就可以在X中找到分別包含x與y的分離開集U與V，集合U與V在Y中也是開集，因而在Y中存在x與y的分離鄰域。在第二種情況下，設

且

。由於X是局部緊緻的，因此在包含y的一個鄰域U的X中，存在一個緊緻子集C。Y中的開集

和U是分離集，且分別包含x與y。於是在這種情況下，在Y中也存在x與y的分離鄰域，因此，Y是豪斯多夫的 ^[2]  。