緊緻集

定義1 設X為非空集，{A_α}是X中的一族子集，

，如果

則稱集合族{A_α}是A的一個覆蓋。

注：1）如果{A_α}中任意有限個集合之交非空，則稱{A_α}具有有限交性質。

2）在定義1中，當{A_α}是X中的開集族時，稱其為A的開覆蓋。 ^[1-2] 

定義2 設X為拓撲空間，

，如果在任何一個覆蓋A的開集族中總可取到有限個開集覆蓋A，則稱A是X 中的緊緻集，簡稱緊集。 ^[2] 

定義3 拓撲空間X稱為局部緊的，是指X中每一點都有閉包為緊的鄰域。

例如，按通常的拓撲，Rⁿ是非緊的，但它卻是局部緊的。 ^[2] 

性質1 Hausdorff空間X中的緊集必是閉集。 ^[2] 

證明：設A 為Hausdorff空間X中的緊集，今證

. 若不然，必有A的聚點x₀，x₀∉A. 利用Hausdorff分離性，對任何x∈A，必有x的鄰域U_x和x₀的鄰域U'_x，使U_x∩U'_x=∅. 顯然，{U_x|x∈A}是A的一個開覆蓋。根據A 的緊性，存在它的一個有限子覆蓋，設為{U_xi| i=1,2，...，n}. 記

於是，U是x₀的一個領域，且

這矛盾於x₀是A的聚點。證畢。

注：1）若拓撲空間中任意兩個不同的點有互不相交的鄰域，則稱該拓撲空間滿足T₂分離公理，也稱該拓撲空間為Hausdorff空間。 ^[2] 

2）拓撲空間的緊集未必是閉集。 ^[3] 

性質2 緊集的閉子集是緊集。 ^[2] 

證明：設A 是拓撲空間X中的緊集，B是其閉子集，設{F_α}為閉子集族，且{F_α∩B}具有有限交性質。注意到（F_α∩B）∩A=F_α∩B，對閉子集族{F_α∩B}而言，{（F_α∩B）∩A}具有有限交性質。由A的緊性，利用下面的定理1，得：（∩_αF_α）∩B=[∩_α（F_α∩B）]∩A≠∅，因而B是緊集。證畢。

性質3 拓撲空間中有限個緊集的並仍為緊集，兩個緊集的交未必是緊的，但閉且緊的子集的任意交是閉且緊的。 ^[3] 

性質4 拓撲空間的緊集的閉包可以不是緊的，但T₃空間的緊集的閉包是緊的。 ^[3] 

定理1 A是拓撲空間X中的緊集的充要條件是對X中任何閉集族{F_α}，如果{F_α∩A}具有有限交性質，則（∩_αF_α）∩A=∅. ^[2] 

定理2 設X為距離空間，M是X的子集，則M為緊集的充要條件是M為列緊閉集。 ^[2] 

定理3 有限維賦範線性空間中的有界閉集是緊集。 ^[2] 

注：1）定理1-3的證明見參考文獻[2]的19-27頁。

2）由定理2可知：A是距離空間X中緊集的充要條件是A 中任何點列必有在A中收斂的子列。 ^[2] 

1.設X是無限維的賦範線性空間，則X中的單位球{x | ||x|| ≤1}非緊。 ^[2] 

證明：證明見參考文獻[2]的28頁。

利用定理4的結論，不難證得：若E是無限維的Banach空間，I：E→E為恆等算子，則I不是緊算子。

2.記緊空間X上的連續函數全體為C（X），對f∈C（X），記

則C（X）按

為一個Banach空間。 ^[2] 

3.設X是緊距離空間，

，可利用Arzela-Ascoli定理來證明M的列緊性。

4.（Tychonov定理）設Xα是緊拓撲空間，則其乘積空間

也是緊的。 ^[2]