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商映射
鎖定
商映射（quotient mapping），是一類連續映射。
設R為集合E中的等價關係，f為從E到集合F中的與R相容的映射。從E/R到F中使x的類對應f(x)的映射g叫做通過對R求商從f導出的映射。設S為F中的等價關係，如果f與R及S是相容的，則從E/R到F/S中使x的類對應f(x)的類的映射叫做通過對R與S求商從f導出的映射。
[1]
- 中文名
- 商映射
- 外文名
- quotient mapping
- 所屬學科
- 數學
- 性 質
- 一種連續映射
商映射定義
實際上容易看出，商映射即是滿足下列兩個(等價的)條件之一的滿映射
(1)
是開集
是X的開集；
商映射相關定理
證明：
：顯然成立。
圖一
(3)
連續
連續。
定理2 沒X，Y是兩個拓撲空間，～和～’分別為X和Y上的等價關係，
是一個連續映射，且保持關係，即
，
，則存在一個連續映射
使得圖二是個交換圖(其中
和
均表示自然映射)，並且當
是商映射時，
也是商映射。
圖二
定理4 設
是商映射，並且X是局部連通的，則Y也是局部連通的。
商映射常用命題
關於商映射，有如下一些基本而常用的命題。
但是這個命題的逆命題並不成立。
命題2 如果X是緊緻的，Y是
空間，則連續滿映射
是商映射。
證明 只需證明f是閉映射即可，對於x中任一閉子集F，由於X是緊空間，故F是緊子集，從而f(F)是Y的緊子集，由於Y是
空間，故f(F)是閉的，因此f是閉映射。
命題3 商映射的複合映射仍然是商映射。
命題4 若
是商映射．則商空間
與Y同胚。
商映射舉例
例2 將三角形兩邊同向地粘接得到什麼空問?
通過圖三，四可以看出，適當改變粘合順序，我們可知所得也是
帶：先沿b剪開，再粘合a，最後粘合b，即得到
帶。
圖三
圖四
