自然映射

自然映射一種重要的映射，亦稱正規映射、典型映射。 ^[1] 

設R是集合A上的等價關係，若映射g：A→A/R對當a∈A有g(a)=[a]_R，則g稱為A關於等價關係R的自然映射，記為n_R. ^[1] 

注：自然映射n_R把A的元素a映射成它的等價類[a]_R，即n_R(a)=[a]_R. ^[1] 

自然映射是滿射。反之，設f：A→B是滿射，則

是A的直和分解。而{f^-1(b)}_b∈B是A的劃分，若由此劃分定義的等價關係為R，則當f(a)=b時，[a]_R=f^-1(b)，於是f可分解為一個自然映射與一個雙射的積：f=g°n_R，這裏g：f^-1(b)→b. ^[1] 

例 設A={a,b,c,d,e,f}={某大學宿舍的大學生}；R是A上的同鄉關係（不難證明同鄉關係是等價關係），若a,b是北京人，c是廣東人，d,e,f是南京人，則R={(a,a)，(a,b)，(b,a)，(b,b)，(c,c)，(d,d)，(d,e)，(d,f)，(e,d)，(e,e)，(e,f)，(f,d)，(f,e)，(f,f)}. A關於R的商集A/R={[a]R,[c]R,[d]R}={{a,b},{c},{d,e,f}}.

A中各元素關於R的等價類（自然映射）分別是：

[a]_R=[b]_R={a,b}；

[c]_R={c}；

[d]_R=[e]_R=[f]_R={d,e,f}. ^[1]