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拉普拉斯-貝爾特拉米算子
鎖定
- 中文名
- 拉普拉斯-貝爾特拉米算子
- 外文名
- Laplace–Beltrami operator
- 學 科
- 數學
- 領 域
- 數學
目錄
拉普拉斯-貝爾特拉米算子定義
給出,這裏
是局部座標系基向量
這裏
是沿着向量場X的李導數。在局部座標中,我們得到
綜上,對一個數量函數f的拉普拉斯–貝爾特拉米算子在局部座標中公式為
注意到如上定義中,只對數量函數
有效。我們欲將對函數的拉普拉斯算子,延拓到微分形式上;為此,我們必須回到拉普拉斯–德拉姆算子,將在下一節定義。可以證明拉普拉斯–貝爾特拉米算子在歐幾里得空間退化通常的拉普拉斯算子,利用乘積法則與鏈式法則將其重寫為
當|g|=1,比如笛卡兒座標下的歐幾里得空間,容易得到
另外注意到外導數d與 -div伴隨:
這裏最後一個等式利用了斯托克斯定理。另外注意拉普拉斯–貝爾特拉米算子是負的且對稱:
對函數f與h。因此,許多作者定義拉普拉斯–貝爾特拉米算子時添一個減號,將其變成正的。
利用共變導數
給出。容易看出有張量性變換,因為對每個變量Xi與Xj都是線性的。則拉普拉斯–貝爾特拉米算子是黑塞矩陣關於度量的跡:
在抽象指標記號中,此算子經常寫成
需要理解清楚的是這個跡其實就是黑塞張量的跡。
拉普拉斯-貝爾特拉米算子拉普拉斯-德拉姆算子
拉普拉斯-貝爾特拉米算子定義
這裏 d 是外導數而 δ 是餘微分。當作用在數量函數上,餘微分可以定義為 δ = −
,這裏* 是霍奇星算子;更一般地,餘微分可能包含與所作用的k-形式的階數有關的一個符號。
可以證明拉普拉斯–德拉姆算子作用在數量函數f上時與前面的拉普拉斯–貝爾特拉米算子定義相同;細節參見證明。注意拉普拉斯–德拉姆算子事實上是負拉普拉斯–貝爾特拉米算子;這個符號來自定義餘微分的習慣。不幸的是,兩者都用 Δ 表示,經常成為混亂之源。
拉普拉斯-貝爾特拉米算子性質
給定數量函數f與h,以及一個實數a,拉普拉斯–德拉姆算子有如下性質:
拉普拉斯-貝爾特拉米算子張量上的拉普拉斯算子
利用與列維-奇維塔聯絡相伴的共變導數,拉普拉斯–貝爾特拉米算子可推廣到偽黎曼流形上任意張量。這個推廣的算子可以作用在反對稱張量上。但所得的算子與拉普拉斯–德拉姆算子給出的不同:兩者通過外森比克恆等式相關。
拉普拉斯-貝爾特拉米算子例子
拉普拉斯–貝爾特拉米算子許多特例可以明白地寫出來。
- 球面拉普拉斯算子
這裏f(x/|x|) 是函數f次數為零的齊次延拓到R,而 Δ 是周圍歐幾里得空間的拉普拉斯算子。具體地,這由歐幾里得拉普拉斯算子在球極座標下熟知的公式所藴含:
我們也可以給出球面上拉普拉斯–貝爾特拉米算子在法座標系中一個內藴描述。設 (t,ξ) 是球面上關於球面上特定點p(北極)的球座標,這就是關於p的測地極座標。這裏t表示從p出發沿着單位速度測地線的緯度,ξ是表示S中測地線的方向的一個參數。則球面拉普拉斯算子具有如下形式
這裏
是通常n- 1 球面上的拉普拉斯算子。
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- 微分幾何中的拉普拉斯算子(Laplacian operators in differential geometry)
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