李導數

設𝖃M為光滑流形M上的向量場的集，X∈𝖃M有流Φ_t。則向量場Y對X於點p的李導數為

(𝓛_XY)_p=lim_t→0(Φ_-t*Y_Φt(p)-Y_p)/t。

即(𝓛_XY)_p=c'(0)，其中c為T_pM上的曲線，定義為c(t)=Φ_-t*Y_Φt(p)。 ^[3] 

設ω為光滑流形M上的微分k形式，X為有流Φ_t的向量場，則ω對X的李導數定義為

(𝓛_Xω)(p)=lim_t→0(Φ_t^*ω-ω)(p)/t，p∈M。 ^[3] 

𝓛_Xf=Xf，f∈A₀(M)；

𝓛_X(ω₁⋀...⋀ω_k)=∑_iω₁⋀...⋀𝓛_Xω_i⋀...⋀ω_k，ω_i為1形式。

在A(M)上有𝓛_X∘d=d∘𝓛_X。

定義X的內乘法i(X):A_k(M)→A_k-1(M)為

(i(X)ω)(X₁,...,X_k):=ω(X,X₁,...,X_k)，ω∈A_k(M)，X_i∈𝖃M。

則𝓛_X=i(X)∘d+d∘i(X)。 ^[3] 

李導數（Lie derivative）是一種對流形M上的張量場，向量場或函數沿着某個向量場的求導運算，以索甫斯·李命名。 所有李導數組成的向量空間對應於如下的李括號構成一個無限維李代數。

李導數用向量場表示，這些向量場可看作M上的流的無窮小生成元。從另一角度看，M上的微分同胚組成的羣，有其對應的李導數的李代數結構，在某種意義上和李羣理論直接相關 ^[1]  。

李導數有幾種等價的定義。在本節，為簡便起見，我們用標量場和向量場的李導數的定義開始。

李導數的定義可以從函數的微分開始。這樣，給定一個函數f:M→ℝ和一個M上的向量場X，f在點p∈M的李導數定義為

其中df是f的微分。也就是，df:M→T*M是由下式給出的[1-形式]：

這裏，dx^a是餘切叢T*M的基向量。這樣，記號

表示取f（在M中的點p）的微分和向量場X（在點p）的內積。

或者，可以先表明M上的光滑向量場X定義了一個M上的單參數曲線族。也就是，可以表明存在曲線在M上使得

其中

對於所有M中的點p成立。這個一階常微分方程的解的存在性由皮卡-林德洛夫定理給出（更一般的，這種曲線的存在性是弗羅貝尼烏斯定理給出）。然後可以定義李導數為

第三個可能的定義可以通過先定義一對向量場的李括號給出。首先注意到切空間的基向量可以寫為

，所以一個向量場，用一組選定的基向量可以表示為

定義李括號為

然後定義向量場Y的李導數等於X和Y的李導數，也就是，𝓛_XY=[X,Y]。

根據上面任選的一個定義，其他的定義可被證明為其等價形式。 例如，可以證明，對於一個可微函數f，

並且

我們用在1-形式

上的李導數的定義來結叢本節：

.

李導數有一些屬性。令𝓕(M)為流形M上的函數組成的代數。則

是一個在代數𝓕(M)上的導子。也就是， 𝓛_X是R-線性的，並且

。

類似的，它是

上的一個導數，其中

是M上的向量場的集合：

也可寫為等價形式

其中張量積符號⨂用於強調函數和向量場的積在整個流形上取。另外的性質和李括號的一致。所以，例如，作為向量場的導數，

容易發現上面就是雅可比恆等式。這樣，就可以得到“裝備了李括號的M上的向量空間是李代數"的重要結果 ^[2]  。

李導數和外導數密切相關，因此和埃裏·嘉當的微分流形理論相關。 兩個都試圖給出導數的思想，其差別幾乎只是記號上的。這個區別可以通過引入反導數或等效的內積來消除。 這之後，兩者的關係就體現在一組恆等式上。

令M為一個流形，X為M上一個向量場。令

為一k+1-形式。X和ω的內積為

注意，

是

-反導數。也就是，是R-線性的，並且

。

對於

和另一個微分形式η成立。另外，對於一個函數

，那是一個實或復值 的M上的函數，有

外導數和李導數的關係可以總結為以下這些。對於一般函數f，李導數就是外導數和向量場的內積：

對於一般的微分流形，李導數類似於內積，加上X的變化：

當ω為1-形式，上述恆等式經常寫作

導數的乘積是可分配的

在微分幾何中，如果我們有一個

階可微張量場（我們可以把它當作餘切叢

的光滑截面

和切叢

的截面

的線性映射

），使得對於任何函數

有

而且如果進一步有一個可微向量場（也就是切叢的一個光滑截面）

，則線性映射

獨立於聯絡∇；只要它是無撓率的，事實上，這個映射是一個張量。這個張量稱為

關於

的李導數。

換句話説，如果你有一個張量場

和一個由向量場

給出的微分同胚的無窮小生成元，則

就是

在這個無窮小微分同胚下的無窮小變化。

或者，給定向向量場

，令ψ為

的積分曲線族，向上面那樣。注意ψ是一個局部單參數局部微分同胚羣。令

為由ψ誘導的拉回。則張量

在

點的李導數如下