流

給定光滑流形M上的向量場X，對M上任一點q，存在q的鄰域V與0的鄰域I，且有微分映射Φ:I×V→M，滿足對∀t∈I，p∈V，有

Φ(0,p)=p

Φ_*∂_t(t,p)=X∘Φ(t,p)

其中∂_t(t,p):=ι_p*D(t)，其中ι_p:I→I×V，t↦(t,p)

則Φ為X的局部流。 ^[2] 

給定流形M上一個向量場X，則存在唯一流區域A，且有唯一微分映射Φ:A→M，(t,p)↦Φ_p(t)。曲線Φ_p:I→M，t↦Φ_p(t)為X的初始值為Φ_p(0)=p的唯一極大積分曲線，其中I=[a_p,b_p]為該開區間。

稱為流，或極大流。 ^{[1]  [2]} 

流Φ滿足流方程：

Φ(0,p)=p

Φ(s,Φ(t,p))=Φ(s+t,p) ^[1] 

設X為M上完備向量場，則X誘導出單參數微分同胚羣。 ^[2]