局部流

給定光滑流形M上的向量場X，對M上任一點q，存在q的鄰域V與0的鄰域I，且有微分映射Φ:I×V→M，滿足對∀t∈I，p∈V，有

Φ(0,p)=p

Φ_*∂_t(t,p)=X∘Φ(t,p)

其中∂_t(t,p):=ι_p*D(t)，其中ι_p:I→I×V，t↦(t,p)

則Φ為X的局部流。 ^[1-2] 

設X,Y∈𝖃M，Φ_t為X的局部流，Ψ_s為Y的局部流。則[X,Y]=0，當且僅當對任意t與s有Φ_t○Ψ_s=Ψ_s○Φ_t。 ^[2]