截面曲率

截面曲率

依賴於

點的切空間裏的一個二維平面

。它就定義為該截面，考慮在p點以平面

作為切平面的曲面

，這曲面是收集流形中某包含

的鄰域內從p點出發的測地線且這測地線在

點的切向量屬於截面

（換句話説就是

其中

是

裏包含原點的鄰域）_，而截面曲率

就是曲面

在

點的高斯曲率。形式上，截面曲率是流形上的2維格拉斯曼纖維叢的光滑實值函數。

截面曲率完全決定了曲率張量，是非常有用的幾何概念。

設

為黎曼流形，

為

上

點處切空間中的二維平面，

和

為

中兩個線性無關的向量。 則關於

的截面曲率定義為 ^[1]  ：

其中

是

的黎曼曲率張量。

常截面曲率的黎曼流形是最簡單的類型。它們稱為空間形式。通過縮放度量，它們有三種情況 ^[2]  ：

1) 負曲率−1，雙曲幾何；

2) 零曲率，歐幾里得幾何；

3) 正曲率+1，橢圓幾何。

三類幾何的模型流形分別是雙曲空間，歐幾里得空間和單位球面。它們是對於這些給定的截面曲率唯一可能的完備單連通黎曼流形，所有其它常曲率流形是它們在某個等距映射羣下的商。

1. 完備黎曼空間有非負的截面曲率，當且僅當函數

對於所有點p是一個1-凹函數。

2. 一個完備單連通黎曼流形有非正截面曲率，當且僅當函數

是1-凸函數。