橢圓幾何

橢圓幾何(6張)

維羅巴切夫斯基幾何出現以後，1854 年，黎曼(G.F.B.Riemann)以“過直線外一點，沒有直線與已知直線共面而不相交”為公理去代替歐幾里得平行公理，創立了另一種非歐幾何，人們稱之為黎曼幾何(Riemannian geometry )。簡稱為黎氏幾何，亦稱橢圓幾何(elliptic geometry)。在這種幾何裏，三角形內角之和大於兩直角。非歐幾何與歐幾里得幾何雖然結果不同，但它們都是無矛盾的幾何學。非歐幾何甚至還可以在歐幾里得幾何的某些曲面上表現出來。非歐幾何的產生打破了幾何空間的唯一性，反映了空間形式的多樣性。從微分幾何的觀點看，歐幾里得幾何反映了曲率為零的空間，羅巴切夫斯基幾何反映了曲率為負數的空間，黎曼幾何反映了曲率為正數的空間。這些新發現使人們對空間的認識有了新的進展，而且擴大了幾何學的應用範圍。非歐幾何的發現是19世紀最重要的數學成就之一。 ^[1] 

黎曼認識到度量只是加到流形上的一種結構，並且在同一流形上可以有許多不同的度量。黎曼以前的數學家僅知道三維歐幾里得空間E3中的曲面S上存在誘導度量ds²=Edu²+2Fdudv+Gdv²，即第一基本形式，而並未認識到S還可以有獨立於三維歐幾里得幾何賦予的度量結構。黎曼意識到區分誘導度量和獨立的黎曼度量的重要性，從而擺脱了經典微分幾何曲面論中侷限於誘導度量的束縛，創立了黎曼幾何學，為近代數學和物理學的發展作出了傑出貢獻。

黎曼幾何以歐幾里得幾何和種種非歐幾何作為其特例。例如：定義度量（a是常數），則當a=0時是普通的歐幾里得幾何，當a>0時 ，就是橢圓幾何 ，而當a<0時為雙曲幾何。

黎曼幾何中的一個基本問題是微分形式的等價性問題。該問題大約在1869年前後由E.B.克里斯托費爾和R.李普希茨等人解決。前者的解包含了以他的姓命名的兩類克里斯托費爾記號和協變微分概念。在此基礎上G.裏奇發展了張量分析方法，這在廣義相對論中起了基本數學工具的作用。他們進一步發展了黎曼幾何學。

但在黎曼所處的時代，李羣以及拓撲學還沒有發展起來，因此黎曼幾何只限於小範圍的理論。大約在1925年H.霍普夫才開始對黎曼空間的微分結構與拓撲結構的關係進行了研究。隨着微分流形精確概念的確立，特別是E.嘉當在20世紀20年代開創並發展了外微分形式與活動標架法，建立了李羣與黎曼幾何之間的聯繫，從而為黎曼幾何的發展奠定重要基礎，並開闢了廣闊的園地，影響極其深遠。並由此發展了線性聯絡及纖維叢的研究。

1915年，A.愛因斯坦運用黎曼幾何和張量分析工具創立了新的引力理論——廣義相對論。使黎曼幾何（嚴格地説洛倫茲幾何）及其運算方法（裏奇算法）成為廣義相對論研究的有效數學工具。而相對論近年的發展則受到整體微分幾何的強烈影響。例如矢量叢和聯絡論構成規範場（楊-米爾斯場）的數學基礎。

1944年陳省身給出n維黎曼流形高斯-博內公式的內藴證明，以及他關於埃爾米特流形的示性類的研究，引進了後來通稱的陳示性類，為大範圍微分幾何提供了不可缺少的工具併為複流形的微分幾何與拓撲研究開創了先河。半個多世紀，黎曼幾何的研究從局部發展到整體，產生了許多深刻的結果。黎曼幾何與偏微分方程、多複變函數論、代數拓撲學等學科互相滲透，相互影響，在現代數學和理論物理學中有重大作用。