論作為幾何學基礎的假設

6月17日19:38黎曼流形上的幾何學。

德國數學家G.F.B.黎曼19世紀中期提出的幾何學理論。1854年黎曼在格丁根大學發表的題為《論作為幾何學基礎的假設》的就職演説，通常被認為是黎曼幾何學的源頭。在這篇演説中，黎曼將曲面本身看成一個獨立的幾何實體，而不是把它僅僅看作歐幾里得空間中的一個幾何實體。他首先發展了空間的概念，提出了幾何學研究的對象應是一種多重廣義量，空間中的點可用n個實數（x1，……，xn）作為座標來描述。這是現代n維微分流形的原始形式，為用抽象空間描述自然現象奠定了基礎。黎曼幾何中的一條基本規定是：在同一平面內任何兩條直線都有公共點(交點)。在黎曼幾何學中不承認平行線的存在，它的另一條公設講：直線可以無限延長的，但總的長度是有限的。黎曼幾何的模型是一個經過適當“改進”的球面。近代黎曼幾何在廣義相對論裏得到了重要的應用。在物理學家愛因斯坦的廣義相對論中的空間幾何就是黎曼幾何。在廣義相對論裏，愛因斯坦放棄了關於時空均勻性的觀念，他認為時空只是在充分小的空間裏以一種近似性而均勻的，但是整個時空卻是不均勻的。在物理學中的這種解釋，恰恰是和黎曼幾何的觀念是相似的。此外，黎曼幾何在數學中也是一個重要的工具。它不僅是微分幾何的基礎，也應用在微分方程、變分法和複變函數論等方面。