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外微分形式
鎖定
外微分形式,又稱微分形式,是微分流形上定義的反對稱協變張量場。
- 中文名
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外微分形式
- 外文名
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Differential form
- 別 稱
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微分形式
- 表達式
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微分流形上定義的反對稱協變張量場
- 提出者
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埃裏·嘉當
- 應用學科
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數學
外微分形式外微分形式簡介
微分形式是多變量微積分、
微分拓撲和
張量分析領域的一個數學概念。現代意義上的微分形式,及其以楔積(wedge product)和外微分結構形成外代數的想法,都是由法國數學家
埃裏·嘉當引入的。
我們從
R中的開集的情形開始。一個
0-形式(0-form)定義為一個
光滑函數f. 當我們在
R的
m-維子空間
S上對函數
f積分時,我們將積分寫作
[1]
:
把
dx1, ...,
dxn當作形式化的對象,而非讓積分看起來像個
黎曼和的標記。我們把這些和他們的負−
dx1, ..., −
dxn叫做
基本'1-形式。
我們再在其上定義一種乘法規則楔積,這種乘法只需滿足反交換的條件: 對所有i,j
我們把這些乘積的集合叫做
基本2-
形式,類似的我們定義乘積
的集合為
基本'3-形式,這裏假定n至少為3。定義一個單項式'k-形式為一個0-形式乘以一個基本的
k-形式,定義
k-形式為一些單項式
k-形式的和。
楔積可以推廣到這些和上:
等等,這裏
dxI和類似的項表示
k-形式。換句話説,和的積就是所有可能的積的和。
我們來定義光滑
流形上的
k-形式。為此,我們假設有一個開座標覆蓋。我們可以在每個座標鄰域上定義一個
k-形式;一個全局的
k-形式就是一組座標領域上的
k-形式,他們在座標鄰域的交集上一致。這種
一致的精確定義,見
流形。
外微分形式楔積的性質
若f,g,w為任意微分形式,則
若f為k-形式,g為l-形式:
外微分形式抽象(簡明)定義及討論
在
微分幾何中,
k階
微分k-形式是一個
流形的
餘切叢的
k階外冪(exterior power)的光滑截面。在流形的每一點
p,一個
k-形式給出一個從
切空間的
k階笛卡兒冪(cartesian power)到
R的多線性映射。
例如,光滑函數(0-形式)的
微分就是一個1-形式。
1-形式在
張量的座標無關表示中是一個很有用的基本概念。在這個上下文中,他們可以定義為向量的的實值函數,並可以看成他們所對應的向量空間的
對偶空間。1-形式的一箇舊稱就是"協變向量"。
外微分形式微分形式的積分
k階微分形式可以在k維鏈(chain)上積分。若k= 0,這就是函數在點上的取值。其他的k= 1, 2, 3, ...對應於線積分,曲面積分,體積分等等。
設
為一微分形式,設
S為一個我們想在其上積分的集合,其中
S有參數化形式
u屬於參數域
D。則[Rudin, 1976]定義
S上微分形式的積分為
外微分形式微分形式的操作
- 參考資料
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1.
S.Sternberg,Lectures on Differential Geometry,Prentice-Hall, Englewood Clliffs, N. J. 1964.
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2.
H.Flanders,Differential Forms with Applications to the Physical Sciences, Academic Press,New York, 1963.