等距映射

等距映射(isometry)是黎曼流形間保持弧長的映射。設(M，g)和(N，h)是兩個黎曼流形，φ：M→N是光滑映射，若φ

h=g，即對任意的p∈M及X，Y∈T_pM，都有g(X，Y)=h(φ

X，φ

Y)，則稱φ是局部等距映射。對於局部等距映射φ：M→N，必定有dim M≤dim N。當dim M<dim N時，則稱(φ，M)是N的等距浸入子流形。若φ：M→N是可微同胚，且φ是局部等距映射，則稱φ是從(M，g)到(N，h)的等距或等距映射。黎曼流形之間的等距是一種等價關係。兩個黎曼流形彼此等距的條件見“嘉當-阿姆勃羅斯-希克斯定理”，黎曼流形(M，g)到自身的等距映射又稱為等距變換，黎曼流形(M，g)到自身的等距變換全體構成一個羣，稱為等距變換羣(參見“黎曼流形的變換羣”) ^[1]  。

設(A，d)與(B，e)為兩個度量空間。稱從A到B中的映射f是等距映射，如果它保持距離，即是説，如果對A的任一點偶(x，y)，有 e(f(x)，f(y))=d(x，y) ^[2]  。

黎曼流形上的變換羣(transformation groups in Riemannian manifolds)是黎曼流形到自身的變換羣，主要是指黎曼流形的等距變換羣、共形變換羣和射影變換羣。一個微分流形到它自身的可微同胚的全體構成一個羣，稱為該流形的可微變換羣。這個羣是非常大的，一般説來，它不是李羣，若在微分流形上加一定的結構，則該微分流形到自身的、保持該結構不變的可微同胚構成的羣往往可能是一個李羣。例如，n維連通黎曼流形M到自身的等距變換構成的羣稱為M的等距變換羣，它是一個李羣，其維數至多是n(n+1)/2。若M的等距變換羣恰好是n(n+1)/2維李羣，則M必是常曲率空間，且它與下列空間之一等距：Rⁿ，球面Sⁿ，實射影空間RPⁿ，n維單連通雙曲空間。n維連通黎曼流形M到自身的共形變換構成的羣稱為M的共形變換羣，當n≥3時它是維數至多為(n+1)(n+2)/2的李羣，n維球面的共形變換羣達到了這個最大維數。若黎曼流形M到自身的可微同胚把測地線變為測地線，則稱它為M的一個射影變換，M的所有射影變換構成的羣稱為M的射影變換羣 ^[1]  。

以下設M與

是兩個給定的n維Riemann流形，關於M與

的同一概念用同一字母以加“一” 與不加“一” 來區別。例如， M與

中的度量分別記作g與

；Riemann連絡分別記作

，等等 ^[3]  。

定義1設

是一微分同胚，若f滿足

則稱f 為仿射同胚。當如上的f存在時，説M與

是互相仿射同胚的。

命題2 微分同胚

為仿射同胚的充要條件是：在每點

處總可選取f的局部表示，使關於f對應的點有相同的局部座標且

。

定義3設

是一微分同胚，若f滿足

其中

是任給的，則稱f為等距映射；當這樣的f存在時説M與

等距同胚，簡稱等距。

類似於命題2(推導更直接) 是:

命題4微分同胚

是等距映射的充要條件是:在每點

處可選取f的局部表示，使關於f對應的點有相同的局部座標且

可以看出，等距映射一定是仿射同胚。然而，等距的要求要強得多：

意味着M與

的度量完全相同，因而所有基於度量的性質都是相同的；可以説，M與

實質上是同樣的Riemann流形，或者説，它們只是同一個抽象的Riemann流形的不同模型而已。

若M與

是R³中的曲面，則從M到

的等距映射通常稱為變形，這意味着在不發生伸縮變化的條件下改變曲面形狀，在變形後的曲面上測得的長度、角度、面積、測地曲率及Gauss曲率等都不會改變；簡言之，變形不改變曲面幾何，無論我們怎樣捲曲一個柱面，生活於其上的2維智能生物都不會覺察到它的“世界”的幾何學有絲毫變化。

不能互相變形的曲面必定具有不同的度量，度量不同的曲面有着本質的差別，這似乎純粹是一個幾何學命題，實際上也具有非常直觀且非常現實的物理學意義。例如，有經驗的工程人員都知道，用金屬薄板捲成一個圓筒是較為容易的，而要製作一個半球面就不太容易，因為需消耗很大能量來改變板材的局部度量，球面不能變形為平面(即使局部地) 這一事實還導致如下結論：不存在一種地理製圖法，使得地圖上各部分能按同一尺寸比例繪製，因而嚴格説來任何地圖在尺寸比例上都是失真的!

判定兩曲面是否等距有重要的理論與實際意義。一般來説，決定兩曲面不等距要簡單些：指出兩者的內在性質有一項差異就足夠了。例如，Gauss曲率不同的曲面絕不會等距；特別，半徑不同的球面是不能互相變形的。另一方面，要肯定兩曲面等距並不總是容易的，須知，等距的曲面可能在外形上差別甚大，倘無細緻的解析論證，僅憑直觀的考察是難以作出判斷的，為應用方便,給出由4推出的以下判別法。

命題5若曲面M與

分別有參數(u，v) 與

使得對應

是一個微分同胚(即雙方為

映射的參數對應)，且在此參數對應下有

分別為M與

的第一基本形式，則M與

等距同胚。

等距概念有一個十分自然而又意義重大的應用.設

是一個微分同胚，

是一個Riemann流形，則依(1)在M上定義出一個Riemann度量g，使得(M，g)通過f與

等距。如此定義的g稱為由f 從

誘導的Riemann度量，注意此處與定義3不同的是，M上可能未曾定義過度量，或者即使已有度量，也與此處的g沒什麼關係。

誘導度量概念可從以下模型得到直觀説明：設想我們要測量圓柱面上一曲線C之長，但尚未找到測量方法，甚至不知道對C的長應如何定義，則可將C染上顏色,然後將圓柱面在平面上滾動，使C印出一條平面曲線C，自然就以C₁的長度作為C的長。上述程序無非是將平面的度量誘導到圓柱面上。

誘導度量概念是構造Riemann流形模型的一個有意思的工具，它往往導致一些饒有趣味的結果 ^[3]  。