常曲率空間

歐氏空間是一個特別的度量空間，它使得我們能夠對其的拓撲性質，在包含了歐氏幾何和非歐幾何的流形的定義上發揮了作用。

歐氏空間既是幾何學的研究對象，又是代數學的研究對象。在幾何學中，歐氏空間是滿足全部歐幾里得公理的幾何空間。它的幾何是研究幾何圖形的度量性質和度量不變量的歐幾里得幾何(簡稱歐氏幾何)，包括普通平面幾何和立體幾何的全部理論。

歐氏幾何空間按維數的不同而有一維歐氏空間(即歐氏直線)、二維歐氏空間(即歐氏平面)和三維歐氏空間(即普通空間，在幾何學中也常簡稱歐氏空間)。在代數學中，歐氏空間是實數域上的一個線性空間，在其中規定了一個稱為內積的二元實函數。歐氏線性空間的維數可以是任意的自然數。容易在同維數的歐氏幾何空間與歐氏線性空間之間建立直接的聯繫。在歐氏幾何空間中取定一點作為公共的起點，空間每一點就決定一個以該點作為終點的向量。這種向量的全體構成的集合在向量加法和數乘向量的乘法下就是一個線性空間。再以通常向量的數量積作為線性空間中向量的內積，這個線性空間就是一個歐氏線性空間.反之，在線性空間取定基底後，n維線性空間中的向量可以用n元數組作為座標表示，再把n維歐氏線性空間的向量的座標看做n維歐氏幾何空間中建立了直角座標系後點的座標，這樣就在n維歐氏線性空間的向量和n維歐氏幾何空間的點之間建立了一一對應，並且當取後者的座標原點作為公共的起點，由後者的每個點作為終點所決定的向量，其座標正好與前者的對應向量的座標相同，由其數量積所確定的歐氏線性空間，也與前者完全合一。 ^[1] 

設V是實數域R上一線性空間，在V上定義了一個二元實函數，稱為內積，記作(α，β)，它具有以下性質：

(1)(α，β)=(β，α)

(2)(kα，β)=k(α，β)，

(3)(α+β，γ)=(α，γ)+(β，γ)，

(4)(α，α)≥0，當且僅當α=0時(α，α)=0.這裏α，β，γ是V中任意的向量，k是任意實數。這樣的線性空間V叫做歐幾里得空間，簡稱歐氏空間。

黎曼流形是一黎曼度量的微分流形。設M是n維光滑流形，若在M上給定一個光滑的二階協變張量場g，稱(M，g)為一個n維黎曼流形，g稱為該黎曼流形的基本張量或黎曼度量，如果滿足：

1.g是對稱的，即：

g(X，Y)=g(Y，X) (X，Y∈T_pM，p∈M).

2.g是正定的，即：

g(X，X)≥0 (X∈T_pM，p∈M)，

且等號僅在X=0時成立。

簡單地説，黎曼流形就是給定了一個光滑的對稱、正定的二階張量場的光滑流形。

常曲率空間是歐氏空間的一種直接推廣。若一個黎曼流形在每一點沿每一個二維切子空間的截面曲率都是相同的，則稱它為常曲率空間。若(M，g)是有常截面曲率c的空間，則它的曲率張量為：

R(X，Y)Z=-c{g(X，Z)Y-g(Y，Z)X}，

R(X，Y，Z，W)=-c{g(X，Z)g(Y，W)

-g(X，W)g(Y，Z)}.

若(M，g)是常截面曲率c的完備、單連通n維黎曼流形，則當c=0時，(M，g)等距同構於R；當c>0時，(M，g)等距同構於R中半徑為1/的球面；當c<0時，(M，g)等距同構於R中的開球：

並帶有黎曼度量：

需要指出的是，無論c的符號如何，上述度量的截面曲率總為常數c，這是黎曼於1854年在他的奠基性論文中已經闡述的事實。對於R中半徑為1/的球面S，當S-{(0，…，0，1)}在關於該點的球極投影下映為R時，球面S上的誘導度量便寫成上面的表達式。 ^[2] 

常曲率空間具有最高對稱性，其等度規羣（可能只是局部羣）的維數（亦即獨立Killing場的個數）是n（n+1）/2，其中n是空間維數。 ^[3] 

研究常曲率空間 中 的 一般緊緻子流形，通過計算常曲率空間中緊緻子流形的第二基本形式長度平方的Laplacian，削減條件“具有平行平均曲率向量”或“極小”，給出常曲率空間中的緊緻子流形是全測地子流形的充分條件，推廣和改進常曲率空間中全測地子流形的外圍空間。