代數獨立

代數獨立是指在抽象代數里，一個域L的子集S若被稱做代數獨立於一子域K的話，表示S內的元素都不符合係數包含在K內的非平凡多項式。這表示任何以S內元素排成的有限序列α1, ..., αn(沒有兩個是一樣的)和任一系數包含在K的非零多項式P(x1，……，xn)，都會得到 P(α1，……，αn) ≠ 0 的結果。特別的是，單元素集合 {α} 若是代數獨立於K的話，若且唯若α會是K內的超越數或超越函數。一般而言，和於K代數獨立集合的所有元素也必然會是K內的超越數或超越函數，但反之則不必然。

舉例來説，實數R的子集{√π， 2π+1}並不代數獨立於有理數Q，當存在一非零多項式

，當x1代入√π和x2代入2π+1時會變成零。 林德曼-魏爾斯特拉斯定理時常用做證明某些函數會代數獨立於有理數。其內容為，當α1，…….，αn為線性獨立於有理數的代數數時，

，……，

便會代數獨立於有理數。現在依然沒有證明出集合{π, e}是否代數獨立於有理數。Nesterenko在1996年證明了{π, eπ, Γ}是代數獨立於有理數的。給定一域擴張L/K，我們可以利用佐恩引理來證明總是存在一L的最大代數獨立子集於K。甚至，所有個最大代數獨立子集都會有相同的基數，稱之為此一域擴張的超越次數。 ^[1] 

亦稱近世代數。研究各種代數系的結構及其性質的分支學科。它是在初等代數基礎上經過數系概念的推廣，與實施代數運算範圍的擴大，從18世紀末萌芽到20世紀30年代，逐步形成現代數學的主要分支之一。

抽象代數是研究以任意對象作為元素的集合，賦予元素間的若干合成法則——即對集合中任意元素a，b有集合中惟一的元素c與之對應——稱為運算，並且這些運算滿足於特定的一些條件——稱為公理。隨着集合所賦予的運算及其所滿足的公理體系的不同而形成各種不同的代數系，如羣、環、域、格、模(包括向量空間)、代數等。

代數系的起源較早，在挪威數學家阿貝爾(Abel，N.H.)證明五次以上方程不能用根式求解的進程中就孕育着羣的概念；1830年，年僅19歲的伽羅瓦(Galois，E.)徹底解決了代數方程的根式求解問題，從而引進數域的擴張、置換羣、可解羣等概念；後來，凱萊(Cayley，A.)在1854年的文章中給出有限抽象羣；戴德金(Dedekind，J.W.R.)於1858年在代數數域中又引入有限交換羣和有限羣；克萊因(Klein，C.F.)於1872年建立了埃爾朗根綱領，這些都是抽象羣產生的主要源泉。然而抽象羣的公理系統直到1882年凱萊與韋伯(Weber，H.)在Math.Annalen的同一期分別給出有限羣的公理定義，1893年韋伯又給出無限抽象羣的定義。由於李(Lie，M.S.)對連續羣和弗羅貝尼烏斯(Frobenius，F.G.)對羣表示的系統研究，對羣論發展產生了深刻的影響。同時，李在研究偏微分方程組解的分類時引入李代數的概念，然而，它的發展卻是19世紀末和20世紀初，由基靈(Killing，W.K.J.)、外爾(Weyl，(C.H.)H.)和嘉當(Cartan，É.(-J.))等人的卓越工作才建立了系統理論。

域這個名詞雖是戴德金較早引入的，但域的公理系統卻是迪克森(Dickson，L.E.)與亨廷頓(Huntington，E.V.)於19世紀初才獨立給出。而域的系統發展是從1910年，施泰尼茨(Steinitz，E.)的著名論文“域的代數理論”開始的。同期，布爾(Boole，G.)研究人的思維規律，於1854年出版《思維規律的研究》，建立了邏輯代數，即布爾代數。但格論是在1933～1938年，經伯克霍夫(Birkhoff，G.D.)、坎託羅維奇(Канторович.П.В.)、奧爾(Ore，O.)等人的工作才確立了在代數學中的地位。另一方面，1843年，哈密頓(Hamilton，W.R.)引進四元數並奠定了向量代數和向量分析的基礎，而四元數系又構成實數域上有限維可除代數。凱萊與西爾維斯特(Sylvester，J.J.)一起建立了代數型的理論，奠定了代數不變量的矩陣理論.。凱萊又是矩陣代數的創始人，他建立了八元數與非結合代數，同時，克利福德(Clifford，W.K.)將八元數(復四元數)及外代數推廣到一般克利福德代數，並將其成功地應用於非歐幾里得空間中運動的研究。 ^[2] 

代數學的基本概念之一。即具有兩個運算的代數系。設F是至少含兩個元的集合，在F中定義了兩個二元運算：一個稱加法，使F成為加羣，它的單位元稱為F的零元;一個稱乘法，使F的非零元構成一個交換羣，加法與乘法滿足分配律，此時稱F為域。例如，全體有理數、全體實數和全體複數在通常的加法與乘法下都構成域，分別稱為有理數域、實數域和複數域。域是許多數學分支研究的基礎，尤其對代數、代數數論、代數幾何等更為重要。

域的特殊子集。若域F的一個子集合為S，對於F的加法與乘法也構成域，則稱S為F的子域，而稱F為S的擴域。F中至少含一個非零元的子集S是子域的充分必要條件為：對任意a，b∈S恆有a-b和ab^-1(b≠0)屬於S。例如，有理數域是實數域及複數域的子域，集合：

是實數域的子域。

超越函數(Transcendental Functions)，指的是變量之間的關係不能用有限次加、減、乘、除、乘方、開方運算表示的函數。

歐拉把約翰·貝努利給出的函數定義稱為解析函數，並進一步把它區分為代數函數（只有自變量間的代數運算）和超越函數（三角函數、對數函數以及變量的無理數冪所表示的函數），還考慮了“隨意函數”（表示任意畫出曲線的函數）。

如三角函數、對數函數，反三角函數，指數函數，等就屬於超越函數。如y=arcsinx，y=cosx，它們屬於初等函數中的初等超越函數。

超越函數是指那些不滿足任何以多項式作係數的多項式方程的函數。説的更技術一些，單變量函數若為代數獨立於其變量的話，即稱此函數為超越函數。例如，對數函數和指數函數即為超越函數。 超越函數這個名詞通常被拿來描述三角函數，例如正弦、餘弦、正割、餘割、正切、餘切、正矢、半正矢等。

函數的不定積分運算是超越函數的豐富來源，如對數函數便來自代數函數的不定積分。在微分代數裏，人們研究不定積分如何產生與某類“標準”函數代數獨立的函數，例如將三角函數與多項式的合成取不定積分。

在數學領域中，超越函數與代數函數相反，是指那些不滿足任何以多項式作係數的方程的函數，即函數不滿足以變量自身的多項式為係數的多項式方程。換句話説，超越函數就是"超出"代數函數範圍的函數，也就是説函數不能表示為有限次的加、減、乘、除、乘方和開方的運算。

嚴格的説，關於變量z的解析函數f(z) 是超越函數，那麼該函數是關於變量z是代數獨立的。

非超越函數則稱為代數函數，代數函數的例子有多項式和平方根函數。

對代數函數進行不定積分運算能夠產生超越函數，如對數函數便是在對雙曲角圍成的面積研究中， 對倒數函數y= k/x不定積分得到的， 以此方式得到的雙曲函數sinhx、 coshx、tanhx都是超越函數。

微分代數的某些研究人員研究不定積分如何產生與某類“標準”函數代數獨立的函數，例如將三角函數與多項式的合成取不定積分。 ^[3]