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林德曼-魏爾斯特拉斯定理

林德曼-魏爾斯特拉斯定理（Lindemann–Weierstrass theorem）是一個可以用於證明實數的超越性的定理。它表明，如果 α1,...,αn 是代數數，在有理數 ℚ 內是線性獨立的，那麼在 ℚ 內是代數獨立的；也就是説，擴張域在 ℚ 內具有超越次數 n。

一個等價的表述是：如果 α1,...,αn 是不同的代數數，那麼指數在代數數範圍內是線性獨立的。

這個定理由林德曼和魏爾斯特拉斯命名。林德曼在1882年證明了對於任何非零的代數數α，eα都是超越數，因此推出了圓周率是超越數。魏爾斯特拉斯在1885年證明了一個更一般的結果。

這個定理，以及格爾豐德-施奈德定理，可以推廣為Schanuel猜想。

林德曼-魏爾斯特拉斯定理定理定義

如果 α1,...,αn 是代數數，在有理數 ℚ 內是線性獨立的，那麼在 ℚ 內是代數獨立的；也就是説，擴張域在 ℚ 內具有超越次數 n。

一個等價的表述是：如果 α1,...,αn 是不同的代數數，那麼指數在代數數範圍內是線性獨立的。

e和π的超越性

e和π的超越性是這個定理的直接推論。

假設α是一個非零的代數數，那麼{α}在有理數範圍內是線性獨立的集合，因此根據定理的第一種表述，{e}是一個代數獨立的集合，也就是説，e是超越數。特別地，e = e是超越數。

另外，利用定理的第二種表述，我們可以證明，如果α是一個非零的代數數，那麼{0, α}就是不同的代數數的集合，因此集合在代數數範圍內是線性獨立的，特別地，e不能是代數數，因此一定是超越數。

我們來證明π是超越數。如果π是代數數，2πi也是代數數（因為2i是代數數），那麼根據林德曼-魏爾斯特拉斯定理， e^πi = -1（參見歐拉公式）也是超越數，這與 -1 是代數數的事實矛盾。

把這個證明稍微改變以下，可以證明如果α是一個非零的代數數，那麼sin(α)、cos(α)、tan(α)和它們的雙曲函數也是超越數。

p進數林德曼-魏爾斯特拉斯猜想，就是這個定理在p進數中也成立：假設p是素數，α1,...,αn是p進數，它們都是代數數，且在Q內線性獨立，使得對於所有的i，都有。那麼p進指數在Q內是代數獨立的。

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