代數運算

定義 （1）設A，B，D是集合，稱A×B到D的映射為A×B到D的代數運算。

注：(i) 代數運算是一種特殊映射；

(ii) A和B的次序一般不能交換；

(iii) 代數運算通常用符號“

”表示。

（2）一個A xA到A的代數運算稱為A上的(二元)代數運算。 ^[2] 

按照這個定義，一個代數運算只是一種特殊的映射。因為在一般映射裏，可能會涉及n個集合

和另一個集合D，這裏n可以是任何正整數。現在我們説的是一個特殊的映射．它只有兩個集合A和B，與另一個集合D發生關係，這種情況把它叫作是一個代數運算。讓我們看一看，為什麼把這樣的一個特殊映射叫作代數運算?假定我們有一個AxB到D的代數運算。按照定義，給了一個A的任意元a和一個B的任意元b，就可以通過這個代數運算得到一個D的元d。我們也可以説，所給代數運算能夠對a和b進行運算，而得到一個結果d。這正是普通的計算法的特徵，例如普通加法就是把任意兩個數加起來，而得到另一個數的運算。

代數運算既是一種特殊的映射，描寫它的符號，也可以特殊一點。一個代數運算我們用符號

來表示(映射是用

表示)。 ^[3] 

設有n元函數f：S₁×S₂×...×S_n→S中有S=S₁=S₂=...=S_n則稱f為S上的n元運算，或簡稱n元運算。當n=2時稱二元運算；n=1時稱一元運算。在代數系統中一般以討論二元運算為主(有時也討論一元運算)。一個運算可用一個運算符及若干個集合中元素組成。運算符中二元運算符常可用“

”“*”等表示，也可用“+”“×”等表示，但其中並不一定具有通常數字中的“加”“乘”的含義，一個運算的表示如x×y=z，a+b=c等均為二元運算的表示。

(i) 設

是A上的一個代數運算，若a，b，c∈A有

則稱A上的這個代數運算

滿足結合律。

(ii) 若集合A上的代數運算

滿足結合律，則對A中任意n(n≥3)個元素無論怎樣加括號，其結果都相等。 ^[2] 

(i) 設

是A上的一個代數運算，若

有

則稱A上的代數運算

滿足交換律。

(ii) 若集合A上的代數運算既滿足結合律又滿足交換律。則對A中任意n個元素進行運算時可以任意結合和交換元素的前後次序，其結果均相等。

(i)設

是A上的一個代數運算，若

有

則稱“

”滿足左消去律。

(ii)設

是A上的代數運算，若

有

則稱“

”滿足右消去律。

(iii)若

既滿足左消去律又滿足右消去律。則稱

滿足消去律。 ^[2] 

(i)左分配律

①設集合A上有兩個代數運算

和

，若

有

則稱

對

滿足左分配律。

②設集合A上有兩個代數運算

和

，若

滿足結合律且

對

滿足左分配律，則

有

(ii)右分配律

①設集合A上有兩個代數運算

和

，若

有

則稱

對

滿足右分配律。

②設集合A上有兩個代數運算

和

，若

滿足結合律且

對

滿足右分配律．則

有 ^[2] 

【1】設Z是整數集．下列法則是Z上的代數運算的是哪些?

(i)普通加法

(ii)普通乘法

(iii)普通減法

(iv)普通除法

(v)

解：(i)、(ii)、(iii)是Z上的代數運算。

(iv)不是Z上的代數運算，因為

沒有意義．

(v)不是Z上的代數運算，因為

不是整數．

【2】設

其中R是實數集，

是普通除法

問：代數運算

是否滿足結合律? ^[2] 

解：代數運算

不滿足結合律。

取a=2，b=3，c=3，則

從而a=2，b=3，c=3時，有