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閉區間套定理
鎖定
閉區間套定理，是實數連續性的一種描述，幾何意義是，有一列閉線段(兩個端點也屬於此線段)，後者被包含在前者之中，並且由這些閉線段的長構成的數列以О為極限，則這一列閉線段存在唯一一個公共點.
[1]
- 中文名
- 閉區間套定理
- 外文名
- the principle of nested intervals
- 別 名
- 區間套原理
- 表達式
- ξ∈{[an,bn]}
- 適用領域
- 數學分析
- 應用學科
- 數學
閉區間套定理定理定義
閉區間套定理閉區間套
設有無窮多個閉區間
，滿足以下兩個條件：
(1)[an+1，bn+1]⊂[an，bn]（即後一個閉區間都在前一個閉區間之內）；
(2)
（即只要n充分大，閉區間的長度與0就可以接近到預先給定的程度），
那麼將這一無窮多個閉區間所構成的集合
稱為一個閉區間套，簡稱區間套。
閉區間套定理定理
若
是一個閉區間套，則存在唯一實數
，並且
。
閉區間套定理推論
若ξ是閉區間套
的公共點，則
，當
時，有[an，bn]⊂U(ξ，ε)。
閉區間套定理推導過程
由閉區間套的定義，不難得到以下不等式：
取所有小於bn的實數構成數集A，其他實數構成集合B，則：
①{an}⊂A，{bn}⊂B，因此A、B非空；
②
；
③明顯，A中的任意元素都小於B中的任意元素。
假設ξ是A中的最大值，則有
；假設ξ是B中的最小值，則有
。無論哪種情況都有
。
∵
∴
，當
時，
∵
∴
，
∴
而
，
，即
∴有[an，bn]⊂U(ξ，ε)。
閉區間套定理定律影響
閉區間套定理由於具有較好的構造性，因此在實數相關的命題中有廣泛的應用，故閉區間套定理不僅有重要的理論價值，而且具有很好的應用價值。例如用來證明單調有界定理，閉區間上的連續函數的性質（有界性、最值性、零點存在性、一致連續性等），拉格朗日中值定理等微分學上常用的定理。作為介紹，在這裏給出用閉區間套定理證明單調有界定理和拉格朗日中值定理的過程。
單調有界定理
單調遞增有上界，或單調遞減有下界的數列必定收斂。
證明：以單調遞增有上界的數列為例。設數列{xn}單調遞增有上界b，如果數列從某一項開始，所有的項都等於某個常數a，那麼a就是{xn}的極限。如果不是這樣，即{xn}嚴格單調，現構造一個閉區間套：
將
二等分成
和
，二者之一必有{xn}中的無限項，設它為
。
重複上述步驟，得到一個閉區間套
，由閉區間套定理，存在唯一實數
由閉區間套定理的推論，對
，當
時，有
。
而根據區間套的構造，每一個
上都有{xn}的無限項，利用{xn}的單調性可知，對上述的
，當
時，所有的xn都落在閉區間
上，即
。
於是取
，當
時，上述不等式均成立，即有
。這也就是
。
∴
拉格朗日中值定理
證明：運用上述引理，存在至少一個閉區間[α1，β1]⊂[a，b]，
，且
。
再對
使用上述引理，得到至少存在一個閉區間[α2，β2]⊂[α1，β1]，
，且
。
反覆運用上述引理，則得到一個集合
，滿足閉區間套的定義，且
，有
由閉區間套定理，存在唯一實數
，即
，且
。
由於f(x)在ξ處可導，按導數的定義以及海涅定理，
又由極限與無窮小的關係可知成立以下等式：
兩式相減，併除以
，得
同理可證中間式子的第三項也是無窮小量，從而中間式子的極限值就是
。
於是
，使
，拉格朗日中值定理得證。
