區間套

設

表示以

為端點的閉區間，即

，而用

記其長度，即

假若它們滿足以下兩個條件：

1)對所有的n，皆有

；

2)當

時，

，那麼，就稱

是一個區間套。

若

是一個區間套，則存在唯一的實數c屬於所有的區間

。

證明： 由區間套的條件1)易知：數列

是單調遞增的，且有界(任一

皆為其上界)，故必有極限，令

現證數c屬於一切區間

，為此，取某個固定的自然m，則對大於m的n，皆有

故知

現令

則有

即數c屬於區間

，因m是任意，故c屬於區間套

的所有區間。

最後再證唯一性、為此，該用反證法；

假定c‘是屬於一切區間

的另一數，那麼

因為它們都屬於

，故有

於是有

這與區間套的條件2)

是矛盾的，故知屬於所有區間的c是唯一的。

應該強調的是：區間套

中的區間，必需是閉的(包含二端點在內)，否則，區間套定理就未必成立．譬如，取一系列不包含端點的開區間

容易看出：

包含在

之中，且有

但卻不存在任何實數屬於所有的區間

。 ^[2] 

我們怎樣描述一個無理實數呢?對於像

這樣一些數，我們能夠給出簡單的幾何表徵，但這並不總是容易做到的，足以產生每一個實數點的一種通用可行的方法，乃是通過越來越精確的有理近似值數列來描述數值x，特別是，我們將從左、右兩邊同時逼近x，其精確度逐次增高，而使得誤差的界限趨向於零，換句話説，我們採用這樣一個包含x的端點為有理數的區間“序列”，其中每一個區間都包含着下一個區間，而且使得此序列中充分靠後的那些區間，其區間的長度，隨同其近似值的誤差，小於任何預先指定的正數。

首先，設x含於閉區間

之中，即

這裏

都是有理數(見圖1)，在

之中，我們考慮一個包含x的“子區間”

，即

這裏

都是有理數，例如，我們可以取

的某一半作為

，因為x必定處在區間的這一半或那一半之中。在

之中，我們也考慮包含x的子區間

，

這裏

都是有理數，如此等等，我們要求區間

的長度隨n增加而趨向於零；即對於所有足夠大的n，

的長度小於任何預先指定的正數，一個閉區間

的集合，其中每一個都包含着下一個並且其長度趨向於零，我們稱它為“區間套序列”。點x由區間套序列唯一確定，即沒有另一點y能夠處於所有

之中，因為，只要n足夠大，x和y之間的距離就會超過

的長度，由於這裏我們總是選取有理點作為

的端點，又因為具有有理端點的每一個區間由兩個有理數來描述，於是我們看到， L上的每一個點，即每一個實數，能夠由無窮多個有理數來準確地描述，逆命題並不是顯而易見的；我們將把它當作一個基本公理來接受。

區間套公理：如果

是一個具有有理端點的區間套序列，則存在一個點x包含於所有的

之中。這是一個連續性公理：這個公理保證實軸上沒有空隙存在。 ^[3]