閉域套定理

設閉區間列

具有如下性質：

（i）

（ii）

則稱

為閉區間套 ^[1]  ，或簡稱區間套。

這裏性質（i）表明，構成區間套的閉區間列是前一個套着後一個，即各閉區間的端點滿足如下不等式：

若

是一個區間套，則在實數系中存在惟一的一點

，使得

，即

證 由（1）式，

為遞增有界數列，依單調有界定理，

有極限

，且有

同理，遞減有界數列

也有極限，並按區間套的條件（ii）有

且

聯合（3）、（5）即得（2）式。

最後證明滿足（2）的

是惟一的，設數

也滿足

即由（2）式有

由區間套的條件（ii）得

故有

。

由（4）式容易推得如下很有用的區間套性質。

推論

若

是區間套

所確定的點，則對任給的

，存在

，使得當

時有

注

區間套定理中要求各個區間都是閉區間，才能保證定理的結論是成立的。對於開區間列，如

，雖然其中各個開區間也是前一個包含後一個，且

，但不存在屬於所有開區間的公共點。

例 用區間套定理證明連續函數根的存在性定理。

證 設

在區間

上連續，

，並且記

。令

，如果

，結論已經成立。若

，那麼

與

有一個小於零，不妨設

，記

。再令

，如果

，結論已經成立。故同樣可設

。那麼

在

與

這兩個區間中的某一個區間上端點值異號，並記這個區間為

。將這個過程無限重複下去，就得到一列閉區間

，滿足

（1）

（2）

（3）

由（1）和（2）可知

是一個區間套，由區間套定理，存在

，且有

。因為

在點

連續，所以由（3）得

則必有

。顯然

，它就是

的一個零點。