辛流形

具有某種特殊結構的微分流形，這種結構稱為辛結構。設M為一微分流形,又在M上具有一個二次非退化的閉外微分形式σ,則稱σ是M上的一個辛結構，又稱M為具辛結構σ的辛流形。微分流形的辛結構聯繫於向量空間的辛結構。設V是m維向量空間,在V上定義了一個反對稱、非退化的雙線性形式σ，即σ滿足：①反對稱性，σ(α,β)=-σ(β,α)，對任意α,β∈V成立；②非退化,若對任意β∈V，有σ(α,β)=0，必有α=0,則稱σ為向量空間V上的一個辛結構,又稱V 為具辛結構σ的辛向量空間。對於具辛結構σ的微分流形M,在每一點x∈M，將σ(x)視為TxM上的雙線性形式，即得出向量空間TxM上的辛結構。具辛結構的向量空間 V或具辛結構的微分流形M都必須是偶數維的。

辛流形總是自帶一個辛結構ω，其外積構成辛流形的辛形式，它是處處非零的。一般而言，辛流形的辛形式只是光滑的，只能保證辛流形的可定向的，必須要全純辛形式才一定保證能夠有復定向，這樣的辛流形被稱為全純辛流形。全純辛流形是否一定存在呢？答案是肯定的，在Berger的分類中，完整羣為Sp（m）的hyperkahler manifold就是全純辛流形，因此一定是復可定向的。

對於全純辛流形而言，就連復定向也變成平庸的了，似乎還要考慮更高層次的辛定向，定義為存在處處非零的辛體積形式，使得四元數射影空間具有與復射影空間或實射影空間類似的定向。

有一個標準“局部”模型，也就是R，其中ω_i,n+i= 1;ω_n+i,i= -1;ω_j,k= 0 對於所有i = 0,...,n-1;j,k=0,...,2n-1(k≠j+nandj≠k+n)。這是一個線性辛空間的例子。參看辛向量空間。一個稱為達布定理的命題表明局部來看每個辛流形都和這個簡單的辛流形相似。 ^[1] 

從定義可以直接得到每個辛流形M都是偶數維2n;這是因為ω是無處為0的形式，辛體積形式。由此可以得到，每個辛流形是有一個標準的定向的，並且有一個標準的測度，劉維爾測度（經常重整為ω/n!）。

和辛流形緊密相關的有一個奇數維流形，稱為切觸流形。每個2n+1-維切觸流形(M, α)給出一個2n+2-維辛流形(M×R, d(eα)).

辛流形的子流形有兩個自然的幾何概念，它們是辛子流形（可以是任何偶數維）和拉格朗日子流形（一半維度），其中辛流形要導出該子流形上的一個辛形式，而辛流形限制到拉格朗日子流形的切空間上時為0。拉格朗日子流形自然地出現到很多物理和幾何的情況中；例如，辛同胚的圖像在乘積辛流形(M×M, ω × −ω)上是拉格朗日子流形。 ^[2] 

一個系統的所有組態的空間(位形空間)可以用一個流形建模，而該流形的餘切叢描述了該系統的相空間。"原來位形空間是一個流形，是一個圖集。啥是餘切叢呢？ " 微分幾何中，流形的餘切叢是流形每點的切空間組成的向量叢。可以在餘切叢上定義一組特殊的座標系；這些被稱為正則座標。因為餘切叢可以視為辛流形，任何餘切叢上的實函數總是可以解釋為一個哈密頓函數；這樣餘切叢可以理解為哈密頓力學討論的相空間。" 這樣理解，整個體系在3N維位形空間流動，每個點都有一條切線（光滑的嘛），這個切線的斜率就是這點的一階導（受力），但是這個一階導實際上是由所有的粒子的一階導（受力）線性加和構成的，所有粒子的一階導(3N個分量fix, fiy, fiz)構成了向量叢。每個粒子都有座標向量和動量向量，構成正則座標，正則座標構成相空間，哈密頓為此相空間的實函數。而這個相空間就是一個辛流形，是位形空間上的滿足封閉，光滑，可點乘，不退化，滿足空間對稱和時間對稱的哈密頓函數。所以辛流形描述了相空間與哈密頓之間的數學特性。