辛幾何

辛幾何（Symplectic geometry），也叫辛拓撲（Symplectic topology），是微分幾何的一個分支。其研究對象為辛流形，亦即帶有閉非退化2-形式的微分流形。辛拓撲源於經典力學的哈密頓表述，其中特定經典系統的相空間有辛流形的結構。

辛拓撲和研究有非退化對稱2階張量（稱為度量張量）的流形的黎曼幾何有一些相似和不同之處。不像黎曼的情況，辛流形沒有像曲率那樣的局部不變量。這是達布定理的一個結果，表明每一對辛流形是局部同構的。另一個和黎曼幾何的區別是不是所有的微分流形可以接受一個辛形式；有一些特定的拓撲限制。首先，流形必須是偶數維的。辛拓撲的很多工作就是以研究哪些流形可以有辛結構為中心的。

每個凱勒流形也是一個辛流形。直到1970年代，辛專家們還不確信是否有任何緊非Kähler辛流形存在，但從那以後又很多例子被構造出來（第一個由William Thurston給出）；特別的，Robert Gompf證明每個有限表示羣都可以作為辛4維流形的基本羣出現，這和凱勒的情形完全不同。

可以説大部分辛流形都是非凱勒的；所以沒有和辛形式相容的可積復結構。但是 Mikhail Gromov給出了一個重要的發現，就是辛流形可以接受很多相容的殆復結構，所以它們滿足複流形的所有假設，除了座標變換函數必須是全純的這一條。

以幾乎復結構相容的映射到辛流形的黎曼曲面稱為偽全純曲線，格羅莫夫證明了該類曲線的緊緻性定理；這個結構導致了辛拓撲一個很大的子學科的發展。從格羅莫夫的理論產生的結果包括關於球到柱的辛嵌入的格羅莫夫非壓縮定理，和關於哈密頓流的不動點的個數的阿爾諾德的一個猜想的證明。這是由從Andreas Floer開始的幾個研究者（逐步推廣到更一般的情形）所證明的，Floer用格羅莫夫的方法引入了稱為Floer同調的概念。

偽全純曲線也是辛不變量的一個來源，這種不變量稱為Gromov-Witten不變量，原則上可以用來區分兩個不同的辛流形。 ^[1] 

設M是一個2n維微分流形，稱一個二次微分形式ω叫做M上的一個辛結構（symplectic structure）或辛形式，如果ω滿足

1.ω是一個閉形式，即dω=0。

2.ω是非退化的，即ωⁿ（ω的n次外積）是一個處處非零的2n次微分形式。

我們稱（M，ω）為一個辛流形。簡單的説，辛幾何就是研究辛流形的性質的一種幾何，一般認為屬於微分幾何的範疇。 ^[2] 

達布定理是辛幾何中第一個重要的定理。它斷言辛流形上任意一個點附近存在一個局部座標系，使得辛形式在這組座標系下是歐式空間的標準的辛形式。這樣的座標系被稱為達布座標系。這説明不同於黎曼幾何，辛幾何中並沒有曲率這樣的局部概念，而辛流形的所有性質應該都是整體的。

類比於達布定理，Alan Weinstein證明，任何嵌入的拉格朗日子流形L都有一個管狀鄰域，使得辛形式在這個鄰域的限制等價於L的餘切叢上的典則的辛形式。這樣的鄰域被稱為Weinstein鄰域。

辛幾何發展的里程碑是在1985年，俄羅斯數學家格羅莫夫（M. Gromov）引入了擬全純曲線（Pseudo-holomorphic curve）的概念，證明了譬如不可壓縮定理（Non squeezing theorem）等一些非常奇妙的定理。 ^[3]  這套理論後來發展成為格羅莫夫-威騰不變量（Gromov-Witten invariant），弗洛爾同調（Floer homology）等在辛幾何中非常重要的理論。

前蘇聯數學家阿諾德（V. I. Arnold）猜測緊緻辛流形的辛自同構至少要有一定數目的不動點，並將不動點的數目估計同拓撲學中的莫爾斯不等式做類比。 ^[4]  這個猜測成為辛幾何在二十世紀最後20年的指導性綱領。德國數學家弗洛爾（Andreas Floer）為證明阿諾德猜測，引入了弗洛爾同調的概念，成為辛幾何領域的重要工具。

在弦理論中，物理學家發現卡拉比-丘流形（一類特別的辛流形）存在一種被稱為“鏡像對稱”的現象，即一個卡拉比-丘流形的復幾何性質對應着另一個卡拉比-丘流形（它的鏡像流形）的辛幾何性質。這個觀點極大的影響了1990年代之後的辛幾何的研究。其中1998年菲爾茲獎得主孔採維奇（Maxim Kontsevich）提出的“同調鏡像對稱”猜想，日本幾何學家深谷賢治（Kenji Fukaya）提出的“深谷範疇”等在現代辛幾何的研究中都有非常重要的意義。

緊的微分流形存在辛結構的一個阻礙是可定向和第二個上同調羣的秩非零。

一大類緊的辛流形來源於復代數幾何，譬如，n維復射影空間都存在一個標準的辛形式（稱為Fubini-Study形式）；Fubini-Study形式限制在任何光滑的復射影簇上都是一個辛形式。更一般的，任何Kaehler流形都是辛流形。

任何微分流形的餘切叢上都有一個典則的辛形式。這是一大類非緊的辛流形。事實上餘切叢可以看作經典力學的相空間，而一般的辛流形則是它的推廣。 ^[5]