辛向量空間

確切地説，一個辛形式是一個雙線性形式 ω ：V × V → R 滿足：

取定一組基，ω 能表示為一個矩陣。以上兩個條件表明這個矩陣必須是斜對稱非奇異矩陣。這不同於下面將介紹的辛矩陣，辛矩陣表示空間的一個辛變換。

如果 V 是有限維的那麼維數必須為偶數，因為每個奇數階斜對稱矩陣的行列式為 0。

非退化斜對稱雙線性形式和非退化“對稱”雙線性形式，比如歐幾里得向量空間的內積，的表現非常不同。歐幾里得內積 g，對任何非零向量 v，均有 g(v,v) > 0 成立；但是一個辛形式 ω 滿足 ω(v,v) = 0 。 ^[2] 

標準辛空間

帶有由一個非奇異斜對稱矩陣給出的辛形式 ω。典型地，ω 寫成矩陣形式表為分塊矩陣

這裏

是 n × n 單位矩陣。用基向量表示

一個經過修改的正交化過程指出任何有限維辛向量空間都有這樣一組基，經常稱為達布基或辛基底。

有另外一種方式理解標準辛形式。因上面所使用的帶有標準結構的模型空間 Rn 容易導致誤會，我們用一個“匿名”空間替代之。設 V 是一個 n-維實向量空間，V∗ 為其對偶空間。現在考慮直和 W := V ⊕ V∗，帶有如下形式：

選取V的任何一組基 (v₁, …,v_n) ，考慮其對偶基

我們能將基理解成在W中的向量。若記x_i= (v_i, 0) 和y_i= (0, v_i)，將它們放在一塊，組成了W一組完整的基，

這裏定義的形式

可以證明具有本節最初的那些性質，換句話説，每一個辛結構都同構於一個形如V ⊕ V∗的形式。

對子空間V的選擇不是唯一的,對V選擇的過程稱為極化. 給出了一個這樣的同構的子空間稱為一個拉格朗日子空間或簡稱拉氏子空間.

更加明確的説，給定一個拉氏子空間(如之前定義), 那麼對基

的選擇，通過性質

每一個辛結構都同構於一個形如V ⊕ V∗的形式，（某個向量空間上的）每一個復結構都同構於一個形如V ⊕ V∗的形式。利用這些結構，一個n-維流形的切叢,看做一個2n-維流形,擁有一個殆復結構,並且一個n-維流形餘切叢,看做一個2n-維流形,擁有一個辛結構:

拉格朗日子空間在復空間中的類似物是其實部構成的實子空間，這個實子空間的復化則是全空間W = V ⊕ J'V。

設 ω 是一個 n-維實向量空間 V 上的形式，ω ∈ Λ2(V)。那麼 ω 非退化當且僅當 n 是偶數，且 ωn/2 = ω ∧ … ∧ ω 是一個體積形式。n-維向量空間 V 上的體積形式是（惟一） n-形式 e1∗ ∧ … ∧ en∗ 非零乘積，這裏 ei 是 V 上的標準基。

對上一節定義的標準基，我們有

重排即

定義 ωn 或 (−1)n/2ωn 為標準體積形式。也許會有一個因子 n!，這取決於外形式定義的反對稱化是否包含因子 n!。體積形式定義了辛向量空間 (V, ω) 的一個定向。

假設

和

是辛向量空間，那麼線性映射

稱為一個辛映射當且僅當拉回

保持辛形式，即

。拉回形式的定義為：

從而f是一個辛映射當且僅當

對 V 中所有 u 和 v 成立。特別的，辛映射保持體積形式，保定向，是同構。 ^[1] 

如果 V = W，則一個辛映射稱為 V 上的線性辛變換。特別的，在這種情形我們有：

從而線性變換 f 保持辛形式。所有辛變換的集合組成一個羣，且是一個李羣，稱為辛羣，記作 Sp(V) 或者 Sp(V,ω) 。辛變換的矩陣形式由辛矩陣給出。

設 W 是 V 的一個線性子空間，定義 W 的辛補（空間）為子空間：

對所有

辛補滿足

和

但是，不像正交補， W⊥ ∩ W 不一定為 {0}。我們討論四種情形：

對上面的標準向量空間

，

注意到辛形式滿足正則對易關係，從而辛向量空間的加法羣有個中心擴張，這個中心擴張恰是海森伯羣。 ^[3]