達布中值定理

設y=f(x)在(A,B)區間中可導，且[a,b]包含於(A,B)，f'(a)

設y=f(x)在(A,B)區間中可導，且[a,b]包含於(A,B)，f'(a)<f'(b)，則對於任意給定的η:f'(a)<η<f'(b),都存在一點c∈(a,b)使得f'(c)=η。 ^[1] 

設f(x)在 [a,b]上可微，若在 [a,b]上f′(x)不等於0 ，則f′(x)在[a,b] 上保持定號(恆正或恆負)。

若函數f(x)在[a,b]上可導，則f′(x)在[a,b]上可取f′(a)和f′(b)之間任何值。

已知f'(a)<η<f'(b)，構造函數：g(x)=f(x)-ηx。

若g(a)=g(b)，則由羅爾中值定理：存在ε∈(a,b)使g'(ε)=0。

不妨設g(a)>g(b)，又g'(b)>0，由極限保號性，存在ξ∈（a,b）使g(ξ)<g(b)<g(a)。

由介值定理存在ζ∈(a,ξ)使g(ζ)=g(b)。

又由羅爾中值定理，存在δ∈(ζ,b)使g'(δ)=0。

所以無論如何總存在x∈(a,b)使g'(x)=0即f'(x)=η。

構造函數g(x)=f(x)-ηx。

由於f(x)在(a,b)區間內可導，所以f(x)在(a,b)區間內連續，故g(x)在(a,b)區間內連續。

補充定義使得g(x)在x=a，x=b處連續。

因為g'(a)=f'(a)-η<0,所以一定存在x>a,使得g(x)<g(a)，

即x=a不是函數g(x)在[a,b]上的最小值，同理x=b也不是函數g(x)在[a,b]上的最小值，

故g(x)在(a,b)區間內取得最小值，

所以必然存在ξ∈(a,b)，使g'(ξ)=f'(ξ)-η=0（費馬定理），

所以對於任意給定的η:f'(a)<η<f'(b),都存在一點c∈(a,b)使得f'(c)=η.

由於連續函數介值定理有廣泛的應用，因此導函數介值定理(Darboux定理)與導函數商的介值定理(在不要求導函數連續的情況下)也有廣泛的應用。

我們知道平面曲線的最一般表示形式是參數形式。設曲線參數方程為

，x(t),y(t)在[a,b]上可導,且x′(t)在[a,b]上不為零,則在x′(t)與y(t)未必連續情況下，曲線切線的斜率可取兩端點切線斜率間任何值。事實上，曲線在任一點的切線斜率為

，由導函數商的介值定理

可取

與

之間任何值。

如果不用導函數商的介值定理，此結果很難證明。因為參數方程確定的曲線未必總能化為顯函數。即使能化為顯函數，就具體曲線而言，化成的顯函數的形式可能比較複雜，不利於研究它的性質。

此外,運用達布定理很容易看出：若函數f(x)在[a,b]上可導，則f′(x)在[a,b]上不可能存在第一類間斷點。

微分Darboux定理的推廣：若f(x),g(x)均在[a,b]上可導，並且在[a,b]上g′(x)≠0，則

可以取

與

之間任何值。