間斷點

如果函數f(x)在x₀處不連續 ，則X₀稱為函數f(x)的一個間斷點。 ^[3] 

間斷點產生原因： ^[3] 

（1）f(x)在x₀處沒有定義。 ^[3] 

（2）f(x)在x₀處沒有極限。 ^[3] 

（3）

^[3] 

幾種常見類型。 ^[1] 

可去間斷點：函數在該點左極限、右極限存在且相等，但不等於該點函數值或函數在該點無定義。如函數y=（x^2-1)/(x-1)在點x=1處。（圖一）

跳躍間斷點：函數在該點左極限、右極限存在，但不相等。如函數y=|x|/x在點x=0處。（圖二）

無窮間斷點：函數在該點可以無定義，且左極限、右極限至少有一個不存在，且函數在該點極限為∞。如函數y=tanx在點x=π/2處。（圖三）

振盪間斷點：函數在該點可以無定義，當自變量趨於該點時，函數值在兩個常數間變動無限多次。如函數y=sin(1/x)在x=0處。（圖四）

如果x₀是間斷點，當f(x)在x₀左右極限都存在時，則稱x₀為第一類間斷點。若f(x₀-0)及f(x₀+0)中至少有一個不存在，則稱x₀為第二類間斷點。 ^[3] 

可去間斷點和跳躍間斷點稱為第一類間斷點，也叫有限型間斷點。其它間斷點稱為第二類間斷點。

由上述對各種間斷點的描述可知，函數f(x)在第一類間斷點的左右極限都存在，而函數f(x)在第二類間斷點的左右極限至少有一個不存在，這也是第一類間斷點和第二類間斷點的本質上的區別。

可去不連續點 ^[2] 

1. 考慮以下函數：

點

是可去不連續點。

2. 考慮以下函數：

點

是跳躍不連續點。

3. 考慮以下函數：

點

是第二類不連續點，又稱本性不連續點。