哈密頓函數

可以使用“symplectic manifold”的任何平滑的實值函數H來定義哈密爾頓函數。 函數H被稱為哈密爾頓算子或哈密爾頓能量函數。 然後將“symplectic manifold”稱為相位空間。 哈密爾頓函數在辛流形上引入一個特殊的向量場，稱為哈密爾頓矢量場。

哈密爾頓矢量場（特殊類型的對稱矢量場）在manifold上引起哈密頓量。 這是一個單參數族的變換（曲線的參數通常稱為時間）；換句話説，是同義詞的同位素，從本質來説。 通過劉維定理，每個辛同胚保留相位空間上的體積形式。 由哈密爾頓流引起的擬合的收集通常稱為哈密爾頓算子的哈密爾頓算子。 ^[1] 

辛結構引起泊松支架。 泊松支架在歧管上給出了李代數的結構空間。給定函數f

如果我們有概率分佈ρ，那麼（由於相空間速度（ṗi，q̇i）具有零散度，概率保守），其對流導數可以表示為零，因此

這就是劉維定理。 如果{G，H} = 0，則G保守，對稱變換是對稱變換。

哈密爾頓算子可能有多個守恆量Gi。 如果辛流形具有維度2n，並且存在n個函數上獨立的保守量Gi，它們處於迴歸（即{Gi，Gj} = 0）），那麼哈密頓量可以是劉維積分的。劉維-阿諾德定理 ^[2]  説，在本地，任何劉維可積分哈密爾頓算子都可以通過辛同胚轉換成一個新的哈密爾頓算子，保守數量Gi為座標；新的座標稱為動作角座標。 變換的哈密爾頓算子只取決於Gi，因此運動方程具有簡單的形式

對於某些功能F（阿諾德等，1988）。 整個領域的重點是與由KAM定理管理的可集成系統的小偏差。

哈密爾頓矢量場的可積分性是一個懸而未決的問題。 一般來説，哈密頓系統是混亂的；測量，完整性，可整合性和穩定性的概念定義不明確。 在這個時候，動力系統的研究主要是定性的，而不是定量科學。

廣義座標和廣義動量的函數，起着系統特徵函數的作用。以H表示，其定義是(公式略)：其中q、q0分別是系統的廣義動量和廣義速度，L是系統的拉格朗日函數。在經典力學中，將哈密頓函數代入正則方程，可得到力學系統的動力學規律，並可將該函數表示為H=T2一TO+V。式中的T2和TO分別為系統動能表示式中廣義速度的二次項和零次項。哈密頓函數具有能量的量綱，但不一定就是系統的機械能。通常在反映約束條件的約束方程中不合時間的情況下，哈密頓函數具有機械能的意義，表示為H=T2十V。如果哈密頓函數不含時間，它本身就是一個守恆量。如果哈密頓函數不含某個廣義座標，與這個廣義座標對應的廣義動量是守恆量。