卡姆定理

人們對力學系統所關心的問題之一，是運動過程的長期行為和它最終會達到的狀態。動力系統的長時間行為可能有多種形式：平衡或不動點、週期振動、準週期運動、混沌，它們都是定常態。牛頓力學的確定論觀點曾因解決太陽系行星運行問題的成功而在很長時期佔統治地位。P.拉普拉斯曾宣稱，只要給定初始條件就可以預言太陽系的整個未來。但是，力學中的三體問題和重剛體繞固定點的運動問題成為困擾人們近一個世紀的難題。數學家於19世紀認識到n體問題屬於不可積分的難題，只能尋求級數解。換言之，這類系統無法根據初始條件求出描述系統未來確定性行為的精確解。隨之，H.龐加萊也清楚地認識到力學系統一般説來不可積分，可積分系統只是極少的特例，並指出共振項可能影響級數的收斂性。對於不可積系統的運動圖像，卡姆定理回答了“弱”不可積系統的問題。假定這種系統的哈密頓量可以分為兩部分。其中H₀是可積的，因而只依賴於作用量J；V是使H變得不可積的擾動，自然含有角度變量θ。只要參數ε很小，導致不可積的附加項就很小。卡姆定理指出：在擾動（或者説非線性）較小、V足夠光滑、離開共振條件一定距離等三個條件下，對於絕大多數初始條件，弱不可積系統的運動圖像與可積系統基本相同。由正則方程描述的n個自由度哈密頓系統，如果能找到n個彼此獨立的運動積分，則成為可積系統，並可通過正則變換用作用–角變量(I,θ)描述，且哈密頓函數只與作用變量有關，H₀=H₀(I)，可積系統的解在2n維相空間中分佈在一個n維環面上。如果系統受到微小攝動，H(I,θ)=H₀(I)+εH₁(I,θ)，則稱為近可積系統，其中ε是一小參數。KAM定理的數學表述比較複雜，大意是：在滿足一定條件下（如攝動微小、可積系統的H₀遠離共振、H₁光滑等）近可積系統絕大多數解是規則的，其相軌跡被限制在一個由n個運動不變量決定的n維環面上，該環面與可積系統的環面相比有微小的變形，但拓撲結構不變，稱為不變環面或KAM環面；確切些説，相空間分成大小兩組體積非零的區域。在大區域中仍然保持着與可積系統類似的環面結構；也有一些“隨機”解（隨機二字打上引號表示並非真正的隨機，而是因為系統的性態隨初值的敏感而呈現混亂，這仍然是混沌現象的決定性的表現），但被限制在KAM環面之間，成為“隨機”層。因此，近可積系統與可積系統的解相差不多，這時確定性與“隨機性”共存。隨着攝動的加大，上述條件受到破壞，KAM定理不再適用。分隔相鄰“隨機”層的KAM環面將逐個破裂，“隨機”層也相應變大，這時系統的所有可能解中大部分都是混沌解 ^[1]  。初始條件如果落入小區域中，運動軌道就會相當不規則地迷走，運動軌道呈現不穩定性。這些小的不穩定區的體積隨着ε 趨於零而消失，但只要ε不為零，它們的體積就是有限的。這説明只有低階（小於4階）共振才有危險性，高階共振不影響微擾級數的收斂性。低階共振的區域在相空間中是彼此隔開的，只有參數 ε足夠大時，它們才會互相重疊，導致混沌運動。進一步的研究發現無論破壞任何一個卡姆條件，運動圖像都會變得更為混沌。軌道的不穩定性是力學系統運動中出現隨機性、不可預言性和混沌的原因。

卡姆定理通過對弱不可積系統運動穩定性條件的證明，説明了三維以上非線性系統的運動軌道出現混沌現象具有普遍性。以卡姆定理為代表的渾沌理論揭示了決定論和隨機論之間、牛頓力學和統計力學之間沒有不可逾越的界線，對於突破牛頓力學決定論的思想框架具有重要意義，也豐富了系統學的內容。