哈密頓正則方程

從拉格朗日力學開始，運動方程基於廣義座標

而相應的廣義速度為

通過延伸記號的意義，我們將拉格朗日函數寫作

其中帶下標的變量視為所有N個該類型的變量。哈密頓力學的目標是用廣義動量（也稱為共軛動量）變量取代廣義速度。這樣一來，就可能處理特定的系統，例如量子力學的某些方面，否則其表述會更復雜。

對於每個廣義速度，有一個對應的共軛動量，定義為：

在直角座標系中，廣義動量就是物理上的線性動量。在極座標中，對應角速度的廣義動量就是物理上的角動量。對於廣義座標的任意選取，可能不能找到共軛動量的直觀解釋。

在依賴於座標的表述中不太明顯的一點是：不同的廣義座標實際上無非就是同一辛流形的不同座標表示。

哈密頓量是拉格朗日量的勒讓德變換：

若定義廣義座標的變換方程和t無關，可以證明H等於總能量E=T+V.

的定義的每邊各產生一個微分：

把前面共軛動量的定義代入這個方程併合並係數，我們得到哈密頓力學的運動方程，稱為哈密頓方程：

哈密頓方程是一階微分方程，因而比拉格朗日方程容易解，因為那個是二階的。但是，導出運動方程的步驟比拉格朗日力學更繁瑣 - 從廣義座標和拉格朗日量開始，必須先計算哈密爾頓量，用共軛動量來表達每個廣義座標，然後將共軛動量代入哈密頓量。總之，用哈密頓力學來解決問題不比用拉格朗日力學簡單多少。最終，這會得到和拉格朗日力學和牛頓運動定律同樣的解。

哈密頓方法的主要優點在於它提供了經典力學理論的更深刻結果的基礎。

哈密頓系統可以理解為時間R上的一個纖維叢E，其纖維E_t，t∈R是位置空間。拉格朗日量則是E上的jet叢（射流叢）J上的函數；取拉格朗日量的纖維內的勒讓德變換就產生了一個時間上的對偶叢的函數，其在t的纖維是餘切空間TE_t，它有一個自然的辛形式，而這個函數就是哈密頓量 ^[1]  。

任何辛流形上的光滑實值函數H可以用來定義一個哈密頓系統。函數H稱為哈密頓量或者能量函數。該辛流形則稱為相空間。哈密頓量在辛流形上導出一個特殊的矢量場，稱為辛矢量場。

該辛矢量場，稱為哈密頓矢量場，導出一個流形上的哈密頓流。該矢量場的一個積分曲線是一個流形的變換的單參數族；該曲線的參數通常稱為時間。該時間的演變由辛同胚給出。根據劉維爾定理每個辛同胚保持相空間的體積形式不變。由哈密頓流到處的辛同胚的族通常稱為哈密頓系統的哈密頓力學。

哈密頓矢量場也導出一個特殊的操作，泊松括號。泊松括號作用於辛流形上的函數，給了流形上的函數空間一個李代數的結構。

特別的有，給定一個函數f

若我們有一個概率分佈, ρ,則（因為相空間速度（

）有0散度，而概率是不變的）其傳達導數（convective derivative）可以證明為0，所以

這稱為劉維爾定理。每個辛流形上的光滑函數G產生一個單參數辛同胚族，而若{G,H} = 0,則G是守恆的，而該辛同胚是對稱變換。

哈密頓矢量場的可積性是未解決的問題。通常，哈密頓系統是混沌的；測度，完備性，可積性和穩定性的概念沒有良好的定義。迄今為止，動力系統的研究主要是定性的，而非定量的科學 ^[1]  。

哈密頓量的重要特例是二次型，也就是，可以如下表達的哈密頓量

其中

是纖維

（組態空間中的點q上的餘切空間）上的餘度量。該哈密頓量完全由動能項組成。

若考慮一個黎曼流形或一個偽黎曼流形，使得存在一個可逆，非退化的度量，則該餘度量可以簡單的由該度量的逆給出。哈密頓-雅可比方程的解就是流形上的測地線。特別的有，這個情況下的哈密頓流就是測地流。這些解的存在性和解集的完備性在測地線條目中有詳細討論 ^[2]  。