哈密頓力學

任何辛流形上的光滑實值函數H可以用來定義一個哈密頓系統。函數H稱為哈密頓量或者能量函數。該辛流形則稱為相空間。哈密頓量在辛流形上導出一個特殊的矢量場，稱為辛矢量場。 ^[2] 

該辛矢量場，稱為哈密頓矢量場，導出一個流形上的哈密頓流。該矢量場的一個積分曲線是一個流形的變換的單參數族；該曲線的參數通常稱為時間。該時間的演變由辛同胚給出。根據劉維爾定理每個辛同胚保持相空間的體積形式不變。由哈密頓流導出的辛同胚的族通常稱為哈密頓系統的哈密頓力學。

哈密頓矢量場也導出一個特殊的操作，泊松括號。泊松括號作用於辛流形上的函數，給了流形上的函數空間一個李代數的結構。特別的有，給定一個函數f

若我們有一個概率分佈ρ，則（因為相空間速度（

）有0散度，而概率是不變的）其傳達導數（convective derivative）可以證明為0，所以

這稱為劉維爾定理。每個辛流形上的光滑函數G產生一個單參數辛同胚族，而若{G,H} = 0,則G是守恆的，而該辛同胚是對稱變換。

哈密頓矢量場的可積性是未解決的問題。通常，哈密頓系統是混沌的；測度，完備性，可積性和穩定性的概念沒有良好的定義。迄今為止，動力系統的研究主要是定性的，而非定量的科學。

哈密頓系統可以理解為時間R上的一個纖維叢E，其纖維E_t，t∈R是位置空間。拉格朗日量則是E上的jet叢（射流叢）J上的函數；取拉格朗日量的纖維內的勒讓德變換就產生了一個時間上的對偶叢的函數，其在t的纖維是餘切空間TE_t，它有一個自然的辛形式，而這個函數就是哈密頓量。

哈密頓量的重要特例是二次型，也就是，可以如下表達的哈密頓量

其中

是纖維（組態空間中的點q上的餘切空間）上的餘度量。該哈密頓量完全由動能項組成。

若考慮一個黎曼流形或一個偽黎曼流形，使得存在一個可逆，非退化的度量，則該餘度量可以簡單的由該度量的逆給出。哈密頓-雅可比方程的解就是流形上的測地線。特別的有，這個情況下的哈密頓流就是測地流。這些解的存在性和解集的完備性在測地線條目中有詳細討論。

當餘度量是退化的時，它不是可逆的。在這個情況下，這不是一個黎曼流形，因為它沒有一個度量。但是，哈密頓量依然存在。這個情況下，在流形Q的每一點q餘度量是退化的，因此餘度量的階小於流行Q的維度，因而是一個亞黎曼流形。

這種情況下的哈密頓量稱為亞黎曼哈密頓量。每個這樣的哈密頓量唯一的決定餘度量，反過來也是一樣。這意味着每個亞黎曼流形由其亞黎曼哈密頓量唯一的決定，而其逆命題也為真：每個亞黎曼流形有唯一的亞黎曼哈密頓量。亞黎曼測地線的存在性由周-臘雪夫斯基定理給出。

連續實值海森堡羣提供了亞黎曼流形的一個例子。對於海森堡羣，哈密頓量為

哈密爾頓系統可以幾種方式推廣。如果不僅簡單的利用辛流形上的光滑函數的結合代數，哈密爾頓系統可以用更一般的交換有單位的實泊松代數表述。一個狀態是一個（裝備了恰當的拓撲結構的）泊松代數上的連續線性泛函，使得對於代數中的每個元素A，A映射到非負實數。

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