勒讓德變換

為了研究一個系統內部藴藏的數學結構，表述此係統的函數關係

改用一個新函數

來表示，其變數

是

的導數，

。而

的值是如概述圖藍線在 y 軸的負截距

換句話説，從

x 值到 y 值的函數，轉換成

f(x) 在 x 點的導數到在 x 點切線 y 截距的函數

這程序是由阿德里安-馬裏·勒壤得所發明的，因此稱為勒讓德變換。稱函數

為

的勒讓德變換；

用方程表示

。

此式子表示

中的 u 對

而言是個參數，且參數 u 會滿足

的

。即求算表達式關於變數

的極值。

為方便討論，把討論限定在

為嚴格單調遞增。會有這方程是因為在

也就是斜率不變的狀況下，對每個

而言，所有與曲線

相交且斜率為

的直線族為

。若令

，該直線即是

在

的切線方程。把x當作常數並由概述圖直接觀察可知，在

的情況下，

值是最小的，也就是説直線方程中

這部分是最大的，而正好

，正是原方程所求的極值。

勒讓德變換是點與線之間對偶性關係（duality）的一個應用。函數

設定的函數關係可以用

點集合來表示；也可以用切線(在嚴格單調遞增的討論下，切線跟導數p有一對一的關係)集合表示。

若將勒讓德變換廣義化，則會變為勒壤得-芬伽轉換（Legendre-Fenchel transformation）。勒讓德變換時常用於熱力學與哈密頓力學。 ^[1] 

更詳細地定義勒讓德變換，為了求得

關於

的最大值，設定

關於{\displaystyle x\,\!}的偏導數為零：

。

則

。(1)

這表達式必為最大值。因為，凸函數

的二階導數是負數：

；

用方程 (1) 來計算函數

的反函數

。代入

方程，即可以得到想要的形式：

。

計算

的勒讓德變換，所需的步驟為：

找出導函數

，

計算導函數

的反函數

，

代入

方程來求得新函數

。

這定義切確地闡明：勒讓德變換製造出一個新函數

；其新自變數為

。

另外一種勒讓德變換的定義是：假若兩個函數

與

的一階導數是互相的反函數；

，

或者，

，

則

與

互相為彼此的勒讓德變換。

依照定義，

，

。

思考下述運算：

。

所以，

；

這裏，

。

這答案是標準答案；但並不是一個答案。設定

，

也可以滿足定義的要求。在某些情況下（例如：熱力勢（thermodynamic potential），會採用非標準的答案。除非另外註明，此頁面一律採用標準答案。 ^[2] 

在熱力學裏，使用勒讓德變換主要的目的是，將一個函數與所含有的一個自變數，轉換為一個新函數與所含有的一個新自變數，（此新自變數是舊函數對於舊自變數的偏導數）；將舊函數減去新自變數與舊自變數的乘積，得到的差就是新函數。勒讓德變換可以用來在各種熱力勢（thermodynamic potential）之間作轉換。例如，內能是外延量（extensive）熵，體積，與化學成分（chemical composition）

的顯函數

。

對於

，函數

（非標準的）勒讓德變換為焓函數

：

，

。

一個熵與內含量（intensive）壓力的函數。當壓力是常數時，這函數很有用。

對於

，函數

勒讓德變換為吉布斯能函數

:

，

。

對於

，函數

勒讓德變換為亥姆霍茲自由能函數

:

，

。

這些自由能函數時常用在常温的物理系統。

在經典力學裏，勒讓德變換專門用來從拉格朗日表述導引出哈密頓表述，或反導之。拉格朗日量是廣義座標與廣義速度的函數；而哈密頓量將函數的自變量轉換為廣義座標

與廣義動量：

，

。

正則變換廣泛地應用勒讓德變換在其理論裏。正則變換是一種正則座標的改變，

，而同時維持哈密頓方程的形式，雖然哈密頓量可能會改變。正則變換的方程為

，

，

；

這裏，

是舊正則座標，

是新正則座標，

是舊哈密頓量，

是新哈密頓量，

是生成函數。