哈密頓-雅可比方程

哈密頓—雅可比方程（HJE）是經典哈密頓量一個正則變換，經過該變換得到的結果是一個一階非線性偏微分方程，方程之解描述了系統的行為。與哈密頓運動方程的不同之處在於 HJE 是一個偏微分方程，每個變量對應於一個座標，而哈密頓方程是一個一階線性方程組，每兩個方程對應於一個座標。HJE 可以漂亮地解析一些重要問題，例如開普勒問題。

HJE 是唯一能夠將粒子運動表達為波動的一種力學表述。因此，HJE 滿足了一個長久以來理論物理的研究目標（早至 18 世紀，約翰·伯努利和他的學生皮埃爾·莫佩爾蒂的年代）；那就是，尋找波傳播與粒子運動的相似之處。力學系統的波動方程與薛定諤方程很相似；但並不相同。稍後會有詳細説明。HJE 被認為是從經典力學進入量子力學最近的門階。

哈密頓-雅可比方程是一個一階非線性偏微分方程。用數學表達

其中，

是哈密頓量，未知函數

稱為哈密頓主函數，

是廣義座標，

是積分常數，t是時間 ^[1]  。

假若能夠找到哈密頓主函數S的形式，就可以計算出廣義座標

與廣義動量

隨時間的演變。這樣，可以完全地解析物理系統隨時間的演化。

説明：矢量與標量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置矢量通常用r表示；而其大小則用r來表示。

哈密頓-雅可比方程是一個一階非線性偏微分方程；其中，函數

有

個廣義座標

，和

個獨立的積分常數

。在 HJE 中，哈密頓主函數S有一個很有意思的屬性，它是一種經典作用量。

與拉格朗日力學的拉格朗日方程比較，哈密頓力學裏使用共軛動量而非廣義速度。並且，哈密頓方程乃是一組

個一階微分方程，用來表示

個廣義座標和

個廣義動量隨時間的演變，而拉格朗日方程則是一組

個二階微分方程，用來表示

個廣義座標隨時間的演變。

因為 HJE 等價於一個最小積分問題（像哈密頓原理）， HJE 可以用於許多關於變分法的問題。更推廣地，在數學與物理的其它分支，像動力系統、辛幾何、量子混沌理論，都可以用 HJE 來解析問題。例如，HJE 可以用來找尋黎曼流形的測地線，這是黎曼幾何一個很重要的變分法問題。

在哈密頓力學裏，正則變換將一組正則座標

變換為一組新的正則座標

，而同時維持哈密頓方程的型式（稱為型式不變性）。舊的哈密頓方程為

新的哈密頓方程為

這裏，

、

分別為舊的哈密頓量與新的哈密頓量，

是時間。

假若，使用第二型生成函數

來生成新正則座標，則新舊正則座標的關係為

而新舊哈密頓量的關係為

假若，可以找到一個第二型生成函數

。這生成函數使新哈密頓量

恆等於 0 。稱這個生成函數

為哈密頓主函數。那麼，新哈密頓量

所有的偏導數都等於 0 。哈密頓方程也變得非常的簡單：

這樣，新正則座標都成為運動常數

、

：

由於

，代入舊哈密頓量，則可得到哈密頓-雅可比方程：

解析問題的重要關鍵是必須找到哈密頓主函數

的方程。一旦找到這方程，因為

給予q與p在時間

的初始值，

與

，可以求出運動常數a,b。知道這兩組運動常數，立刻可以得到舊正則座標q與p隨時間的演變。

假設，哈密頓量不顯含時：

。那麼，

哈密頓量是一個運動常數，標記為

：

.

哈密頓主函數可以分離成兩部分：

其中，不含時間的函數

稱為哈密頓特徵函數。

思考一個新的正則變換。設定哈密頓特徵函數

為一個第二型生成函數

：

那麼，哈密頓-雅可比方程變為

由於哈密頓特徵函數不顯含時，新舊哈密頓量的關係為

新正則座標隨時間的導數變為

，

設定

為

，

所以，新正則座標變為

假若，能找到哈密頓特徵函數

，給予舊廣義座標

與舊廣義動量

在時間

的初始值，

與

，依照前面所述方法，就可以求出舊正則座標隨時間的演變。

哈密頓-雅可比方程最有用的時候，是當它可以使用分離變數法，來直接地辨明運動常數。假設，HJE 可以分為兩部分。一部分只跟廣義座標

、哈密頓主函數的偏導數 有關，標記這部分為

。另一部分跟

、

無關。對於這狀況，哈密頓主函數 S可以分離為兩個函數。一個函數

除了廣義座標

以外，跟任何其它廣義座標無關。另外一個函數

跟

無關。

由於每一個廣義動量都是運動常數，

，函數

只跟廣義座標

有關：

若將哈密頓主函數S代入 HJE，則可以觀察到，

只出現於函數

內部，而不出現於 HJE 的任何其它地方。所以，函數

必須等於常數（在這裏標記為

）。這樣，可得到一個一階常微分方程：

在某些問題裏，很幸運地，函數S可以完全的分離為N個函數

：

這些問題的偏微分方程可以分離為N個常微分方程 ^[2]  。

哈密頓主函數S的可分性，相關於哈密頓量和廣義座標的選擇。假若，一個物理系統符合施特克爾條件(Staeckel conditions) ，則哈密頓主函數S可以完全分離。