對稱變換

1、正三角形在下面六個平面剛體運動中保持不變：

（1）恆等變換，記作I。

（2）關於對稱軸r1所在直線的反射，記作r1。

（3）關於對稱軸r2所在直線的反射，記作r2。

（4）關於對稱軸r3所在直線的反射，記作r3。

（5）以重心O為中心轉120° 的旋轉，記作ρ1。

（6）以重心O為中心轉240° 的旋轉，記作ρ2。

正三角形的六個對稱變換組成的集合記作D3，即D3={I,r1,r2,r3,ρ1,ρ2}。

2、正四邊形在下面八個平面剛體運動中保持不變：

（1）恆等變換，記作I。

（2）關於對稱軸r1所在直線的反射 ^[2]  ，記作r1。

（3）關於對稱軸r2所在直線的反射，記作r2。

（4）關於對稱軸r3所在直線的反射，記作r3。

（5）關於對稱軸r4所在直線的反射，記作r4。

（6）以重心O為中心轉90° 的旋轉，記作ρ1。

（7）以重心O為中心轉180° 的旋轉，記作ρ2。

（8）以重心O為中心轉270° 的旋轉，記作ρ3。

正四邊形的八個對稱變換組成的集合記作D4，即D4={I,r1,r2,r3,r4,ρ1,ρ2,ρ3}。

一個平面圖形的兩個對稱變換a與b的合成（先做變換a，再做變換b）仍然是這個平面圖形的對稱變換，記作b·a ^[3]  。

1、對於任意對稱變換a與恆等變換I，都有a·I=I·a。

2、一般地，平面圖形的對稱變換不滿足交換律（除恆等變換外）。

3、平面圖形的對稱變換滿足結合律。

對稱變換主要有 ^[3]  ：

1、y=f(－x) 與y=f(x) 的圖象關於y軸對稱；

若f(－x)=f(x)，則函數自身的圖象關於y軸對稱。

2、y=－f(x) 與y=f(x) 的圖象關於x軸對稱。

3、y=－f(－x) 與y=f(x) 的圖象關於原點對稱；

若f(－x)=－f(x)，則函數自身的圖象關於原點對稱。

4、y=f(x) 與y=f^-1(x) 的圖象關於直線y=x對稱。

5、y=－f^-1(x) 與y=f(x) 的圖象關於直線y=－x對稱。

6、y=f(2a－x) 與y=f(x) 的圖象關於直線x=a對稱；

若f(x)=f(2a－x)（或f(a+x)=f(a－x)），則函數自身的圖象關於直線x=a對稱。

7、y=2b－f(x) 與y=f(x) 的圖象關於直線y=b對稱。

8、y=2b－f(2a－x) 與y=f(x) 的圖象關於點(a，b)對稱。

例1、設函數y=f(x)的定義域是R，且f(x－1)=f(1－x)，那麼f(x)的圖象有對稱軸( )。

A.直線x=0 B.直線x=1

C.直線y=0 D.直線y=1

【解析】設x－1=t，則f(t)=f(－t)，函數為偶函數，關於y軸對稱。故答案選D。

例2、已知函數f(x)定義域為R，則下列命題中

①y=f(x)為偶函數，則y=f(x+2)的圖象關於y軸對稱.

②y=f(x+2)為偶函數，則y=f(x)關於直線x=2對稱.

③若f(x－2)=f(2－x),則y=f(x)關於直線x=2對稱.

④y=f(x－2)和y=f(2－x)的圖象關於x=2對稱.

其中正確命題序號有_____(填上所有正確命題序號).

【解析】 ①y=f(x)是偶函數，而f(x+2)是將f(x)的圖象向左平移2個單位得到的，則對稱軸左移2個單位為x=－2，所以f(x+2)圖象關於直線x=－2對稱。

②y=f(x+2)為偶函數，則f(x+2)=f(2－x)，所以y=f(x)圖象關於直線x=2對稱。

③令x－2=t ，則2－x=－t，得f(t)=f(－t)，y=f(x)的圖象關於y軸對稱。

④f(x)與f(－x)的圖象關於y軸對稱，將f(x)與f(－x)的圖象分別向右平移2個單位，分別得到f(x－2)與f(2－x)的圖象，對稱軸右移2個單位為直線x=2.。

【答案】 ②④

1、若兩個對稱變換a、b滿足a·b=b·a=I，那麼b（或a）叫做a（或b）的逆變換，記作

或

2、b·a的逆變換是

。

1、如果一個多項式F經過字母的替換仍與原來的多項式相等，那麼就説F具有對稱性，上述字母的替換叫做多項式的對稱變換 ^[3]  。

2、設一個多項式的下標組成的集合為{1,2,3,…,n}，σ是n元對稱羣S_n中的一個置換，如果對多項式的下標進行置換σ後仍與原來的多項式相等，那麼置換σ就叫做多項式的對稱變換。

3、如果一個n次多項式的對稱變換是S_n中的全部變換，這樣的多項式叫做對稱多項式。