對稱多項式

F 上的一個 n 元多項式

稱為對稱的如果任意交換兩個變元均不改變該多項式，即對於任意

有

。

兩個 n 元對稱多項式的和、差，積仍是對稱多項式。但對稱多項式的因式不一定是對稱的。

下面的對稱多項式稱為初等對稱多項式 (elementary symmetric polynomial)：

顯然，

是 s 次齊次多項式。 ^[1] 

令

，即

為一次形式（不定）乘積多項式

的展開式係數的全體，則對任意對稱多項式

，我們可以得到

其中

為

元多項式。

對

各項進行字典排序，即

，取循環多項式

為

則易知

的字典序降一，故由歸納法可證其成立。

分解因式

分析 這是一個二元對稱式，二元對稱式的基本對稱式是

任何二元對稱多項式都可用

表示，如

，二元對稱多項式的分解方法之一是：先將其用

表示，再行分解.

解 ∵

∴原式

分解因式

此題中若將式中的

換成

換成

換成

，即為

，，原式不變，這類多項式稱為關於

的輪換對稱式，輪換對稱式的因式分解，用因式定理及待定係數法比較簡單，下面先粗略介紹一下因式定理，為了敍述方便先引入符號

如對一元多項式

可記作

即表示當

時多項式的值，如

時多項式

的值為

，當

時多項式

的值為

因式定理 如果

時，多項式

的值為零，即

，則

能被

整除(即含有

之因式)。

如多項式

，當

時，

，即

含有

的因式，事實上

。對於多元多項式，在使用因式定理時可以確定一個主元，而將其它的元看成確定的數來處理。

解 這是一個含有

三個字母的三次多項式，現以

為主元，設

，易知當

和

時，都有

，故

和

是多項式的因式，而視

為主元時，同理可知

也是多項式的因式，而三次多項式至多有三個因式。

故可設

，其中

為待定係數，令

，可得

。

所以

。 ^[2]