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辛同胚
鎖定
在數學中,一個辛同胚(symplectomorphism)是辛流形範疇中的一個同構。
- 中文名
- 辛同胚
- 外文名
- symplectomorphism
- 學 科
- 物理
辛同胚正式定義
具體地,設 (M1, ω1) 與 (M2, ω2) 是辛流形。一個映射
- f:M1→M2
是一個辛同胚如果它是一個微分同胚且 ω2在f下的拉回等於 ω1:
辛同胚流
由定義,辛流形上任何光滑函數給出一個哈密頓向量場,且這樣向量場的集合組成辛向量場李代數的一個子代數。一個辛向量場的流的積分是一個辛同胚。因為辛同胚保持辛 2-形式,從而也保持辛體積,於是有哈密頓力學中的劉維爾定理。由哈密頓向量場生成的辛同胚也成為哈密頓辛同胚。
如果一個連通辛流形的第一個貝蒂數等於零,辛向量場與哈密頓向量場重合,所以哈密頓同痕與辛同痕的概念重合。
辛同胚(哈密頓)辛同胚羣
從一個流形到自身的辛同胚組成一個無限維偽羣。相應的李代數由辛向量空間組成。哈密頓辛同胚形成一個子羣,它的李代數由哈密頓向量場給出。後者同構於光滑函數關於流形上泊松括號的李代數模去常數。
由班亞嘎(Banyaga)的一個定理,哈密頓微分同胚羣是單羣。它們有由霍弗爾範數(Hofer norm)給出的自然幾何。某些簡單辛四維流形(比如球面的乘積)的辛同胚羣的同倫型可用偽全純曲線的格羅莫夫定理計算出來。
辛同胚量子化
辛同胚的有限維子羣(一般在
-形變後)在希爾伯特空間上的表示稱為子化。當李羣是由一個哈密頓量定義的,它稱為一個“由能量量子化”。從李代數到連續線性算子李代數對應的算子通常也稱為量子化;這是物理學中更常見的方式。參見外爾量子化、幾何量子化、非交換幾何。