作用量

費馬於1662年發表了費馬原理。這原理闡明：光傳播的正確路徑，所需的時間必定是極值。這原理在物理學界造成了很大的震撼。不同於牛頓運動定律的機械性，現今，一個物理系統的運動擁有了展望與目標。

萊布尼茨不同意費馬的理論。他認為光應該選擇最容易傳播的路徑。他於1682年發表了他的理論：光傳播的正確路徑應該是阻礙最小的路徑；更精確地説，阻礙與徑長的乘積是最小值的路徑。這理論有一個難題，如果要符合實驗的結果，玻璃的阻礙必須小於空氣的阻礙；但是，玻璃的密度大於空氣，應該玻璃的阻礙會大於空氣的阻礙。萊布尼茨為此提供了一個令人百思的辯解。較大的阻礙使得光較不容易擴散；因此，光被約束在一個很窄的路徑內。假若，河道變窄，水的流速會增加；同樣地，光的路徑變窄，所以光的速度變快了。

1744年，皮埃爾·路易·莫佩爾蒂在一篇論文《The agreement between the different laws of Nature that had, until now, seemed incompatiable》中，發表了最小作用量原理：光選擇的傳播路徑，作用量最小。他定義作用量為移動速度與移動距離的乘積。用這原理，他證明了費馬原理：光傳播的正確路徑，所需的時間是極值；他也計算出光在反射與同介質傳播時的正確路徑。1747年，莫佩爾蒂在另一篇論文《On the laws of motion and of rest》中，應用這原理於碰撞，正確地分析了彈性碰撞與非彈性碰撞；這兩種碰撞不再需要用不同的理論來解釋。

萊昂哈德·歐拉在同年發表了一篇論文《Method for finding curve shaving a minimal or maximal property or solutions to isoperimetric problems in the broadest accepted sense》；其中，他表明物體的運動遵守某種物理量極值定律，而這物理量是作用量。應用這理論，歐拉成功的計算出，當粒子受到有心力作用時，正確的拋射體運動。

在此以後，許多物理學家，包括拉格朗日、哈密頓、理查德·費曼、等等，對於作用量都有很不同的見解。這些見解對於物理學的發展貢獻甚多。

微分方程時常被用來表述物理定律。微分方程指定出，隨着極小的時間、位置、或其他變量的變化，一個物理變量如何改變。總合這些極小的改變，再加上這物理變量在某些點的已知數值或已知導數值，就能求得物理變量在任何點的數值。

作用量方法是一種全然不同的方法．它能夠描述物理系統的運動，而且只需要設定物理變量在兩點的數值，稱為初始值與最終值。經過作用量極值的演算，我們可以得到，此變量在這兩點之間任何點的數值。而且，作用量方法與微分方程方法所得到的答案完全相同。

哈密頓原理闡明瞭這兩種方法在物理學價位的等價：描述物理系統運動的微分方程，也可以用一個等價的積分方程來描述。無論是關於經典力學中的一個單獨粒子、關於經典場像電磁場或引力場，這描述都是正確的。更加地，哈密頓原理已經延伸至量子力學與量子場論了。

用變分法數學語言來描述，求解一個物理系統作用量的極值（通常是最小值）,可以得到這系統隨時間的演化（就是説，系統怎樣從一個狀態演化到另外一個狀態）。更廣義地，系統的正確演化對於任何微擾必須是穩定的。這要求導致出描述正確演化的微分方程。

量綱為能量與時間乘積的物理量。動能T與時間微元dt的乘積Tdt是作用量。廣義動量與廣義座標微元的乘積對系統的總和也是作用量。在原子物理學中，普朗克常數h的量綱是作用量的量綱。力學中有兩個關於作用量的原理，它們是最小作用量原理和哈密頓原理 ^[1]  。

簡約作用量是一個泛函，即函數的函數。使用的函數為物體系統的運動路徑函數，與時間函數無關。例如，在均勻重力場中，拋物的運動軌跡是拋物線的一部分。圍繞大質量天體公轉的天體在萬有引力作用下的閉合運動軌跡為橢圓。這種情況下，物體系的運動軌跡已經確定而與時間和對應的速度無關。

其中，p為動量，q為廣義座標。

作用量是一個泛函，即函數的函數。使用的函數為時間和空間的函數，進而通過積分變為一個標量。在經典力學中，作用量常表現為研究系統的拉格朗日量關於兩個節點之間時間的積分。

其中L為物體系的拉格朗日量，是廣義座標

，其一階時間導數

以及時間

的函數。T為動能，U為勢能。

根據哈密頓原理，物體系統的作用量應當是平穩的作用量，即滿足

。我們可以藉此推導出拉格朗日方程。推導過程如下：

考慮在原本函數基礎上的輕微變動

以及可以視為常數值的

，有：

在這種情況下，第二項中

,並對第二項使用分部積分法：

在邊界（始末點）的條件下，第二項的積分為零，所以有:

因為

的條件需要在任何時間下都成立，所以係數必須為零，即：

此方程為拉格朗日方程。 ^[2] 

在宇宙學中，均質且各向同性的標量場的作用量的表達式為：

其中

是宇宙膨脹係數，是時間的一個函數。

是標量場並且有對應的勢函數

。將該作用量帶入拉格朗日方程，我們可以得到關於

,

以及

之間關係的方程（Klein-Gordon方程）：

考慮相對論效應，自由粒子的作用量表達式為：

整個系統具有時間平移對稱性，並且相對論下的能量在這個過程中滿足能量守恆。