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費馬原理

費馬原理（Fermat's principle）最早由法國科學家皮埃爾·德·費馬在1662年提出：光傳播的路徑是光程取極值的路徑。這個極值可能是極大值、極小值，甚至是函數的拐點。最初提出時，又名“最短時間原理”：光線傳播的路徑是需時最少的路徑。

費馬原理更正確的稱謂應是“平穩時間原理”：光沿着所需時間為平穩的路徑傳播。所謂的平穩是數學上的微分概念，可以理解為一階導數為零，它可以是極大值、極小值甚至是拐點。

費馬原理定義

過空間中兩定點的光，實際路徑總是光程（或者時間）最短。

費馬原理是幾何光學的基本定理。用微分或變分法可以從費馬原理導出以下三個幾何光學定律：

最短光時線可以有多條，例如光線從橢圓面焦點A經過反射到另一焦點B，可以有無數條路徑，所有這些路徑的光線傳播時間都相等。^[1]

平面反射

光從P點出發射向x點，反射到Q點。

P點到x點的距離

，Q點到x點的距離

，從點P到點Q的光程D為

根據費馬原理，光線在真空中傳播的路徑是光程為極值的路徑。取光程

對

的導數，令其為零：

但其中：

即

球面的半徑=R，光線從直徑一端Q射向球面，反射到直徑另一端P，光程：

因：

所以：

根據費馬原理：

解之，得

，代入D得到：光程

，乃是一個極大值=2.8R；（極小值光程是從直徑一端到Q另一端P，光程=2R）。^[2]

伯努利家族的約翰·伯努利在解決最速降線問題時曾利用到費馬原理。他將小球運動類比作光線的運動，從而得出最速降線為擺線。^[2]

參考資料

1. Hecht, Eugene, Optics 4th, United States of America: Addison Wesley: pp. 106–111, 141, 2002, ISBN 0-8053-8566-5
2. Dugas, R., A History Of Mechanics, New York: Dover Publications, Inc.: pp. 255ff, 274, 345–346, 1988, ISBN 0-486-65632-2

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