哈密頓原理

亦稱最小作用原理.力學中的一個變分原理.拉格朗日函數L是質點組的動能與勢能之差,即L=T-V。

哈密頓原理是以變分為基礎的建模方法，設系統的動能為T，勢能為V，非保守力的虛元功為δw時，則哈密頓原理可以表示為

哈密頓原理常用來建立連續質量分佈和連續剛度分佈系統(彈性系統)的動力學模型。 ^[1] 

哈密頓原理斷言:在一切容許的運動中,質點組的真實運動滿足積分

有極值的必要條件δJ=0.

如同一般變分原理一樣,從哈密頓原理可以等價地推出相應的質點組的運動方程,通常是微分方程.如果力學系統處於靜力平衡穩定狀態,則因動能為零,位能與時間無關,哈密頓原理轉化為最小位能原理:

在力是保守力的情況下,對任何有限粒子組,對於更一般的動力系統以及連續介質,這一原理的推廣同樣適用.哈密頓原理還可推廣到電磁學、量子學説以及相對論中的基本定律.量子學説的創立者普朗克(Planck,M.)這樣評價哈密頓原理,“物理學中最崇高且最為人們殷切追求的目標,是把業已觀察到並行將觀察到的一切自然現象縮併成單獨一個原理……在那些標誌着過去幾百年物理科學成就的,多少帶有一般性的定律中,最小作用原理,就其內容和形式而論,可能最接近於理論研究上這一理想的最終目標.” ^[1] 

因為 ^[2] 

所以

由分部積分關係並考慮到固定點A，B的變分δq1為零，有

代人式2，得

根據變分原理，歐拉方程為

式5就是在勢力作用下的拉格朗日方程，即當

的情況．在對積分極限加上一些限制條件，使真實運動的作用量的二階變分δ²H為正值時，真實運動作用使H取極小值，此原理稱為哈密頓最小作用量原理．因而拉格朗日方程5是哈密頓原理的充要條件． ^[2] 

當完整質點系統所受主動力中包含有勢力和非有勢力兩部分時，哈密頓原理有如下形式：

式中，

δ

為非有勢力

的虛功之和．上式與一般形式的拉格朗日方程

是等價的，

當

時，式7即是式 ^[2]