變分原理

把一個力學問題（或其他學科的問題）用變分法化為求泛函極值（或駐值）的問題，就稱為該物理問題 （或其他學科的問題）的變分原理。如果建立了一個新的變分原理，它解除了原有的某問題變分原理的某些約束條件，就稱為該問題的廣義變分原理；如果解除了所有的約束條件，就稱為無條件廣義變分原理，或稱為完全的廣義變分原理。1964年，錢偉長教授明確提出了引進拉格朗日乘子（Lagrange multiplier）把有約束條件的變分原理化為較少（或沒有）約束條件的變分原理的方法。日本的鷲津一郎教授、中國科學院院士錢偉長教授和劉高聯教授等都是這方面的世界級大師。變分原理在物理學中尤其是在力學中有廣泛應用，如著名的虛功原理、最小位能原理、餘能原理和哈密頓原理等。在當代變分原理已成為有限元法的理論基礎，而廣義變分原理已成為混合和雜交有限元的理論基礎。在實際應用中，通常很少能求出精確的解析解，因此大多采用近似計算方法。近似計算方法主要有：李茲法、伽遼金法、康託洛維奇法、屈列弗茲法等。

根據科內利烏斯·蘭佐斯的説法，任何可以用變分原理來表達的物理定律描述一種自伴的表示。這種表示也被説成是厄米的，描述了在厄米變換下的不變量菲利克斯·克萊因的愛爾蘭根綱領試圖鑑識這類在一組變換下的不變量。在物理學的諾特定理中，一組變換的龐加萊羣（廣義相對論中被稱為規範羣）定義了在一組依賴於變分原理的變換下的對稱性，即作用原理 ^[2]  。

變分法是討論泛函極值的工具，所謂泛函，是指函數的定義域是一個無限維的空間，即曲線空間。在歐氏平面中，曲線的長的函數是泛函的一個重要的例子。一般來説，泛函就是曲面空間到實數集的任意一個映射。

函數的微分定義式為f(x+Δx)-f(x)=f'(x)Δx+o(x);那麼泛函的微分有類似的定義：Φ(γ+h)-Φ(γ)=F+R,此處F為h的函數，R=o(h^2).注意，這裏和微分不同的是h不一定是無窮小量。設有一個體系，其中能量的有關條件已知，換句話説，已經知道體系的哈密頓算符H。如果不能解薛定諤方程來找出波函數，可以任意猜測一個歸一化的波函數，比如説φ，結果是根據猜測的波函數得到的哈密頓算符的期望值將會高於實際的基態能量。變分原理是變分法的基本原理，用於量子力學和量子化學來近似求解體系基態。

最速降線命題

1695年，Bernoulli以公開信方式提出了最速降線命題。如圖1所示，設有不在同一垂線上的A、B兩點，在此兩點間連一曲線，有一重物沿此曲線下滑，忽略各種阻力的理想情況，什麼曲線能使重物沿曲線AB光滑下滑的時間最短。