龐加萊羣

等距同構是一種事物在事件間的時空軌跡上的移動方式，而這樣做是不會影響原時的。例如，所有事件被延後了兩小時，而這兩小時中包括了兩項事件，以及你從事件一到事件二的路徑，那麼你的計時器所量度出的，兩事件間的時間間距會是一樣的。又例如，所有事物被移到西邊五公里外的地方，那麼你所量度出的時間間距也不會改變。而這種移動的結果是不會影響棍子長度的。

如果我們無視重力效應的話，那麼一共有十種移動方式：在時間上的平移，在三維空間中任一維上的平移，在三條空間軸上任一條的（定角）旋轉，或三維任一方向上的直線性洛倫茲變換，因此是1 + 3 + 3 + 3 = 10。

如果將這種等距同構結合起來（即執行一個之後再執行另一個），那麼所得的結果也會是等距同構（然而，這一般來説只限於上述十種基本移動之間的線性組合）。這些等距同構因此形成了一個羣。也就是説，它們當中存在單位元（即不移動，停留在原先的地方）及逆元（將事物移動回原先的位置），同時亦遵守結合律。這種特定羣的名字叫做“龐加萊羣”。

在古典物理學中，對應龐加萊羣的羣叫伽利略羣，也是有十個生成元的，伽利略羣作用於絕對時空。而在伽利略羣中取代直線性洛倫茲變換的是，聯繫兩個共動慣性參考系的錯切變換。

龐加萊羣是閔可夫斯基時空的等距同構羣。它是一種十維的非緊李羣。平移的阿貝爾羣是一個正規子羣，而洛倫茲羣也是一個子羣，原點的穩定子羣。龐加萊羣本身是仿射羣的最小子羣，而仿射羣就包括了所有的變換與洛倫茲變換。準確一點來説，龐加萊羣是平移羣與洛倫茲羣的半直積

另一種解釋方式是，把龐加萊羣視為洛倫茲羣的羣擴張，而擴張的部分則是它的矢量羣表示；因此龐加萊羣有一個不正式的稱呼，叫“非均勻洛倫茲羣”（inhomogeneous Lorentz group）。另外，當德西特半徑趨向無限大時，德西特羣（de Sitter group）

的羣收縮就是龐加萊羣。

它的正能量幺正不可約表示是由質量（非負數）與自旋（整數或半整數）所標記的，並與量子力學的粒子有關。

與愛爾蘭根綱領一致，閔可夫斯基空間的幾何由龐加萊羣所規定的：閔可夫斯基空間可被視為龐加萊羣的齊性空間。

龐加萊代數是龐加萊羣的李代數。更具體的來説，正式的(

)，也就是洛倫茲子羣（它的單位連通區）

的正確時間（

）部分，是與單位元有關係的，因此可用矩陣指數與

表示。在分量形式中，龐加萊羣可用以下的交換關係表示： ^[4] 

其中P為平移生成元，M為洛倫茲變換生成元，η為閔可夫斯基度規。

以下的是與（均勻）洛倫茲羣的交換關係，洛倫茲羣由旋轉（

）及直線性洛倫茲變換（

）所組成。在這樣的標記下，可以用非協變形式（但較實用）來表示整個龐加萊代數

其中最下面的是兩個直線性洛倫茲變換的交換關係，很多時候會被稱作“維格納旋轉”。注意根據上述關係，

，這是一項重要的簡化，能使洛倫茲子代數約化至su(2)⊕su(2)，並且使應付洛倫茲羣的表示論的方法有效得多。

這種代數的卡西米爾不變量為

與

，其中

為泡利-魯班斯基假矢量；它們的作用是標記羣表示。

龐加萊羣是任何相對論性量子場的完全對稱羣。因此，所有基本粒子都能成為這個羣表示的一部分。這些表示一般是由兩種物件所指明的：每一粒子的四維動量平方（即質量平方），和內稟量子數{\displaystyle J^{PC}}，其中J為自旋量子數，P為宇稱，C為電荷共軛量子數。實際上許多量子場會破壞宇稱與電荷共軛。在那些情況下就會棄用被破壞的P和C。由於每一套量子場論均需擁有CPT不變性，因此要從P和C構建時間反轉量子數T是件很容易的事。

作為拓撲空間，這個羣共有四個連通區：單位區、時間反轉區、空間顛倒區、以及同時出現時間反轉與空間顛倒的區。

龐加萊對稱是狹義相對論的完全對稱，當中包括：

上述最後兩種對稱，J及K，組合起來就成了洛倫茲羣（見洛倫茲不變性）。

它們都是一種叫龐加萊羣的李羣的生成元，而龐加萊羣是平移羣與洛倫茲羣的半直積。在這個羣下不變的物件，可被稱為擁有龐加萊不變性或相對論性不變性。