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拉格朗日乘子
鎖定
拉格朗日乘子方法
假設需要求極值的目標函數 (objective function) 為 f(x,y) ,約束條件為 φ(x,y)=M 。
∂F/∂x=0
∂F/∂y=0
∂F/∂λ=0
求出 x,y,λ 的值,代入即可得到目標函數的極值
擴展為多個變量的式子為:
F(x1,x2,...λ)=f(x1,x2,...)+λg(x1,x2...)
則求極值點的方程為:
∂F/∂xi=0(xi即為x1、x2……等自變量)
∂F/∂λ=g(x1,x2,...)=0
拉格朗日乘子用途
從經濟學的角度來看, λ 代表當約束條件變動時,目標函數極值的變化。因為 ∂F/∂M=λ ,當 M 增加或減少一個單位值時,F 會相應變化λ。
例如,假設目標函數代表一個工廠生產產品的數量,約束條件限制了生產中投入的原料和人力的總成本,我們求目標函數的極值,就是要求在成本一定的條件下,如何分配利用人力和原料,從而使得生產量達到最大。此時λ便代表,當成本條件改變時,工廠可達到的生產量最大值的變化率。