約束條件

在優化設計中，目標函數取決於設計變量，而設計變量的取值範圍都有各種限制條件，如強度、剛度等。每個限制條件都可寫成包含設計變量的函數，稱為約束條件或設計約束。因為它是設計變量的函數，也稱為約束函數。 ^[2] 

約束函數可用等式或不等式描述。如果約束函數能夠反映設計變量之間明顯的函數關係，稱為顯式約束；否則，稱為隱式約束。 ^[2] 

等式約束是對設計變量的嚴格約束，起着降低設計自由度的作用，其形式為：

式中．

，l為等式約束的數目，n為設計維數。

在機械優化設計中，大部分約束為不等式約束，其形式為：

式中，

，m為不等式約束的數目。根據約束的性質，分為幾何約束(邊界約束)和性能約束。 ^[2] 

幾何約束：根據某種設計要求，設計變量必須滿足的某些幾何條件以及只對設計變量的取值範圍加以限制的那些約束，如杆的長度、杆的橫截面積等。

性能約束：指滿足特定工作性能而建立的約束條件，如工作應力小於許用應力等。

對於等式約束而言，設計變量所代表的設計點必須在

所表示的面(或線)上，稱為起作用約束或緊約束。對於不等式約束，極限情況

所表示的幾何面或線將設計空間分成兩部分：一部分中所有設計均滿足所有的約束條件，這部分空間稱為設計點的可行域；另一部分所有點均不滿足約束條件，稱為設計點的不可行域。在可行域內的設計點，稱為可行設計點，可行域也是可行設計點的集合。位於可行域邊界上的設計點亦是可行點，過該點的約束為起作用約束，否則為不起作用約束；非可行域是不滿足約束條件設計點的集合。

如圖1所示的某二維優化設計問題，包含四個不等式約束和一個等式約束。圖1中分別表示了可行域、不可行域、可行點、不可行點、起作用約束和不起作用約束。 ^[2] 

利用可行域的概念，可以將優化問題的數學模型（見下文）進行簡化。設同時滿足

和

的設計點的集合為D(設計點的可行域)，優化問題的數學模型可簡化為： ^[2] 

建立優化數學模型，通常是根據設計要求，應用相關基礎和專業知識，建立若干個相應的數學表達式。對於機械結構優化設計，主要是根據力學，機械設計等專業基礎知識及機械製造等專業知識來建立數學模型。優化問題的一般數學模型如下所示： ^[2] 

在設計中不斷變化，能夠獨立影響設計目標的設計參數稱為設計變量，一般用列向量或行向量的轉置表示。設

為優化設計中的n個變量，記為 ^[2] 

或

把

定義為門維歐式空間

的一個列向量，該空間包含了設計中所有可能的設計方案，且每一個設計方案對應設計空間上的一個設計向量或者一個設計點

。設計變量的個數行稱為設計問題的維數，有幾個設計變量就稱為幾維優化設計問題。設計問題的維數表徵了設計自由度。自由度越大，越有利於尋找最理想的設計方案，但設計的難度也越大。

n=2就是一個二維設計問題，可以用直角座標系表示，也稱平面設計問題；n=3是一個三維設計問題，可用三個座標軸所構成的直角座標系表示，也稱三維設計空間；n>3時為抽象的超空間，無法用圖形表示。

在設計域中，按變量是否連續分為連續變量(如構件尺寸、轉速等)和離散變量(如齒輪的齒數等)。按變量的性質分為幾何參數、物理參數和力學參數等，如杆的截面積、長度等即為幾何參數，杆的質量、彈性模量和泊松比為物理參數，杆的應力、應變等為力學參數等。

根據設計變量維數的多少，優化設計問題可以分為小型優化設計問題(n<10)、中型優化設計問題(n=10～50)和大型優化設計問題(n>50)等 ^[2]  。

為了對設計進行評價，必須構造包含設計變量的評價函數，即優化的目標，稱為目標函數，一般以

表示。 ^[2] 

在優化過程中，通過設計變量的改變不斷改善

的值，最後求得令

值最好或最滿意的x值。在目標函數的構造中，應注意目標函數必須包含全部設計變量。

目標函數一般用極小值表示，即

，若求目標函數的極大值，一般用

轉換為極小值問題，因此極大化和極小化都可統一表示為求極小，即

在機械設計中，一般用作目標函數的有體積最小、質量最小、效率最大、柔度最小、振幅或噪聲最小、成本最低，等等。

機械優化設計一般分為單目標優化問題和多目標優化問題。只有一個目標函數的優化問題稱為單目標優化問題；在同一個設計中要提出多個目標區數時，稱為多目標優化問題。目標函數愈多，設計的綜合效果愈好，但求解的難度也愈大。

目標函數一般表現為顯式和隱式兩種。顯式目標函數是根據設計理論或公式、科學定理的關係推導的代數方程，或是根據實驗數據採用曲線擬合方法所得的曲線方程；隱式目標函數是利用有限元分析方法、人工神經網絡方法或仿真模擬方法的程序計算的結果，沒有明顯的函數式，但可給出函數值。 ^[2]